这种方法假设样本点在光滑的流形上，这一方法的计算数据的低维表达，局部近邻信息被最优的保存。以这种方式，可以得到一个能反映流形的几何结构的解。
步骤一：构建一个图G=(V,E),其中V={vi，i=1,2,3…n}是顶点的集合，E={eij}是连接顶点的vi和vj边，图的每一个节点vi与样本集X中的一个点xi相关。如果xi，xj相距较近，我们就连接vi，vj。也就是说在各自节点插入一个边eij，如果Xj在xi的k领域中，k是定义参数。
步骤二：每个边都与一个权值Wij相对应，没有连接点之间的权值为0，连接点之间的权值：
步骤三：令，实现广义本征分解：
使是最小的m+1个本征值。忽略与
=0相关的本征向量，选取另外m个本征向量即为降维后的向量。
2.1、python实现拉普拉斯降维
def laplaEigen(dataMat,k,t):
m,n=shape(dataMat)
W=mat(zeros([m,m]))
D=mat(zeros([m,m]))
for i in range(m):
k_index=knn(dataMat[i,:],dataMat,k)
for j in range(k):
sqDiffVector = dataMat[i,:]-dataMat[k_index[j],:]
sqDiffVector=array(sqDiffVector)**2
sqDistances = sqDiffVector.sum()
W[i,k_index[j]]=math.exp(-sqDistances/t)
D[i,i]+=W[i,k_index[j]]
L=D-W
Dinv=np.linalg.inv(D)
X=np.dot(D.I,L)
lamda,f=np.linalg.eig(X)
return lamda,f
def knn(inX, dataSet, k):
dataSetSize = dataSet.shape[0]
diffMat = tile(inX, (dataSetSize,1)) - dataSet
sqDiffMat = array(diffMat)**2
sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
distances = sqDistances**0.5
sortedDistIndicies = distances.argsort()
return sortedDistIndicies[0:k]
dataMat, color = make_swiss_roll(n_samples=2000)
lamda,f=laplaEigen(dataMat,11,5.0)
fm,fn =shape(f)
print 'fm,fn:',fm,fn
lamdaIndicies = argsort(lamda)
first=0
second=0
print lamdaIndicies[0], lamdaIndicies[1]
for i in range(fm):
if lamda[lamdaIndicies[i]].real>1e-5:
print lamda[lamdaIndicies[i]]
first=lamdaIndicies[i]
second=lamdaIndicies[i+1]
break
print first, second
redEigVects = f[:,lamdaIndicies]
fig=plt.figure('origin')
ax1 = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax1.scatter(dataMat[:, 0], dataMat[:, 1], dataMat[:, 2], c=color,cmap=plt.cm.Spectral)
fig=plt.figure('lowdata')
ax2 = fig.add_subplot(111)
ax2.scatter(f[:,first], f[:,second], c=color, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.show()
2.2、拉普拉斯降维实验
用如下参数生成实验数据存在swissdata.dat里面：
def make_swiss_roll(n_samples=100, noise=0.0, random_state=None):
#Generate a swiss roll dataset.
t = 1.5 * np.pi * (1 + 2 * random.rand(1, n_samples))
x = t * np.cos(t)
y = 83 * random.rand(1, n_samples)
z = t * np.sin(t)
X = np.concatenate((x, y, z))
X += noise * random.randn(3, n_samples)
X = X.T
t = np.squeeze(t)
return X, t
实验结果如下：
N=5，t=15： N=7，t=15： N=9，t=15：
N=11，t=15： N=13，t=15： N=15，t=15：
N=17，t=15： N=19，t=15： N=21，t=15：
N=23，t=15： N=25，t=15： N=27，t=15：
N=29，t=15： N=31，t=15： N=33，t=15：
N=25，t=5： N=25，t=8： N=25，t=10：
N=25，t=12： N=25，t=14： N=25，t=50：
N=25，t=Inf：