Day34-数据结构与算法-并查集

2021-12-29 01:57:16

title: Day34-数据结构与算法-并查集
date: 2020-12-14 17:59:00
author: 子陌

常用的经典数据结构

假设有n个村庄，有些村庄之间有连接的路，有些村庄之间并没有连接的路

设计一个数据结构，能够快速执行2个操作
- 查询2个村庄之间是否有连接的路
- 连接2个村庄
数组、链表、平衡二叉树、集合(Set)？
- 查询、连接的时间复杂度都是：O(n)
并查集能够办到查询、连接的均摊时间复杂度都是O(α(n))，α(n) < 5
并查集非常适合解决这类“连接”相关的问题

并查集（Union Find）

并查集也叫做不相交集合（Disjoint Set）
并查集有2个核心操作
- 查找（Find）：查找元素所在的集合（这里的集合并不是特指Set这种数据结构，是指广义的数据集合）
- 合并（Union）：将两个元素所在的集合合并为一个集合
有2种常见的实现思路
- Quick Find
  - 查找（Find）的时间复杂度：O(1)
  - 合并（Union）的时间复杂度：O(n)
- Quick Union
  - 查找（Find）的时间复杂度：O(logn)，可以优化至O(α(n))，α(n) < 5
  - 合并（Union）的时间复杂度：O(logn)，可以优化至O(α(n))，α(n) < 5

如何存储数据

假设并查集处理的数据都是整型，那么可以用整型数组来存储数据

因此，并查集是可以用数组实现的树形结构（二叉堆、优先级队列也是可以用数组实现的树形结构）

接口设计

int find(int v);查找v所属的集合（根节点）
void union(int v1, int v2);合并v1、v2所属的集合
boolean isSame(int v1, int v2);检查v1，v2是否属于同一个集合

初始化

初始化时，每个元素各自属于一个单元素集合

并查集公共抽象类抽取

package com.zimo.算法.并查集;

/**
 * 并查集 - 公共抽象类抽取
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/15 10:16
 */
public abstract class UnionFind {
    protected int[] parents;

    public UnionFind(int capacity) {
        if (capacity < 0){
            throw new IllegalArgumentException("capacity must be >= 1");
        }
        parents = new int[capacity];
        for (int i = 0; i < parents.length; i++) {
            parents[i] = i;
        }
    }

    /**
     * 查找v所属的集合（根节点）
     * @param v
     * @return
     */
    public abstract int find(int v);

    /**
     * 合并v1、v2所在的集合
     */
    public abstract void union(int v1, int v2);

    /**
     * 检查v1、v2是否属于同一个集合
     * @return 返回检查结果
     */
    public boolean isSame(int v1, int v2){
        return find(v1) == find(v2);
    }

    protected void rangeCheck(int v){
        if (v < 0 || v >= parents.length) throw new IllegalArgumentException("v is out of bounds");
    }
}

Quick Find实现

合并时，将根节点涉及的所有子节点全部修改为新的根节点

package com.zimo.算法.并查集.QuickFind;

import com.zimo.算法.并查集.UnionFind;

/**
 * 并查集 - Quick_Find
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/15 10:16
 */
public class QuickFind extends UnionFind {
    public QuickFind(int capacity) {
        super(capacity);
    }

    public int find(int v){
        rangeCheck(v);
        return parents[v];
    }

    /**
     * 将v1所在的集合所有元素，嫁接到v2的父节点上
     */
    public void union(int v1, int v2){
        int p1 = find(v1);
        int p2 = find(v2);
        if (p1 == p2) return;

        for (int i = 0; i < parents.length; i++) {
            if (parents[i] == p1){
                parents[i] = p2;
            }
        }
    }
}

Quick Union实现

合并时，将根点的根节点修改为新的根节点

package com.zimo.算法.并查集.QuickUnion;

import com.zimo.算法.并查集.UnionFind;

/**
 * 并查集 - Quick_Union
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/15 18:00
 */
public class QuickUnion extends UnionFind {
    public QuickUnion(int capacity) {
        super(capacity);
    }

    /**
     * 通过parent链表不断地向上找，直到找到根节点
     */
    @Override
    public int find(int v) {
        rangeCheck(v);
        while (v != parents[v]){
            v = parents[v];
        }
        return v;
    }

    /**
     * 将v1的根节点嫁接到v2的根节点上
     */
    @Override
    public void union(int v1, int v2) {
        int p1 = find(v1);
        int p2 = find(v2);
        if (p1 == p2) return;
        parents[p1] = p2;
    }
}

Quick Union优化

在Union的过程中，可能会出现树不平衡的情况，甚至退化成链表
有两种常见的优化方案
- 基于size 的优化：元素少的树嫁接到元素多的树
- 基于rank的优化：矮的树嫁接到高的书
基于size的优化，也可能会存在树的不平衡问题

基于size 的优化

package com.zimo.算法.并查集.QuickUnion;

/**
 * 并查集 - Quick_Union - 基于size 的优化
 *      元素少的树 嫁接到 元素多的树
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/16 10:33:50
 */
public class QuickUnion_Size extends QuickUnion {
    private int[] sizes;
    public QuickUnion_Size(int capacity) {
        super(capacity);
        sizes = new int[capacity];
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            sizes[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public void union(int v1, int v2) {
        int p1 = find(v1);
        int p2 = find(v2);
        if (p1 == p2) return;
        if (sizes[p1] < sizes[p2]){
            parents[p1] = p2;
            sizes[p2] += sizes[p1];
        }else {
            parents[p2] = p1;
            sizes[p1] += sizes[p2];
        }
    }
}

基于rank的优化荐

package com.zimo.算法.并查集.QuickUnion;

/**
 * 并查集 - Quick_Union - 基于rank的优化
 *      矮的树 嫁接到 高的书
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/16 10:52:48
 */
public class QuickUnion_Rank extends QuickUnion {
    private int[] ranks;
    public QuickUnion_Rank(int capacity) {
        super(capacity);
        ranks = new int[capacity];
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            ranks[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public void union(int v1, int v2) {
        int p1 = find(v1);
        int p2 = find(v2);
        if (p1 == p2) return;
        if (ranks[p1] < ranks[p2]){
            parents[p1] = p2;
        }else if (ranks[p1] > ranks[p2]){
            parents[p2] = p1;
        }else {
            parents[p1] = p2;
            ranks[p2] += 1;     // 如果两个树高一样，那么嫁接之后高度才会发生变化
        }
    }
}

1.路径压缩优化（Path Compression Question）

虽然有了基于rank的优化，树会相对平衡一点
但是随着Union次数的增多，树的高度依然会越来越高
- 导致find操作变慢，尤其是底层节点(因为find是不断向上找到根节点)
什么是路径压缩?
- 在find时使路径上的所有节点都指向根节点，从而降低树的高度

package com.zimo.算法.并查集.QuickUnion;

/**
 * 并查集 - Quick_Union - 基于rank的优化 + 路劲压缩
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/16 10:52:48
 */
public class QuickUnion_RankPathCompression extends QuickUnion_Rank {

    public QuickUnion_RankPathCompression(int capacity) {
        super(capacity);
    }

    @Override
    public int find(int v) {
        rangeCheck(v);
        if (parents[v] != v){
            parents[v] = find(parents[v]);
        }
        return parents[v];
    }
}

路径压缩使路径上的所有节点都指向根节点，所以实现成本稍高
还有两种更优的做法，不但能降低树高，实现成本也比路径压缩低
- 路径分裂
- 路径减半
路径分裂、路径减半的效率差不多，但都比路径压缩要好

2.路径分裂（Path Spliting）荐

路径分裂：使路径上的每个节点都指向其祖父节点（parent的parent）

package com.zimo.算法.并查集.QuickUnion;

/**
 * 并查集 - Quick_Union - 基于rank的优化 + 路劲分裂
 *      使路径上的每个节点都指向其祖父节点（parent的parent）
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/18 11:18:45
 */
public class QuickUnion_RankPathSpliting extends QuickUnion_Rank {

    public QuickUnion_RankPathSpliting(int capacity) {
        super(capacity);
    }

    @Override
    public int find(int v) {
        rangeCheck(v);
        while (v  != parents[v]){
            int p = parents[v];
            parents[v] = parents[parents[v]];
            v = p;
        }
        return v;
    }
}

3.路径减半（Path Halving）荐

路径减半：使路径上每隔一个节点就指向其祖父节点(parent的parent)

package com.zimo.算法.并查集.QuickUnion;

/**
 * 并查集 - Quick_Union - 基于rank的优化 + 路劲减半
 *      使路径上每隔一个节点就指向其祖父节点(parent的parent)
 *
 * @author Liu_zimo
 * @version v0.1 by 2020/12/18 11:33:12
 */
public class QuickUnion_RankPathHalving extends QuickUnion_Rank {

    public QuickUnion_RankPathHalving(int capacity) {
        super(capacity);
    }

    @Override
    public int find(int v) {
        rangeCheck(v);
        while (v  != parents[v]){
            parents[v] = parents[parents[v]];
            v = parents[v];
        }
        return v;
    }
}

总结

使用路径压缩、分裂或减半＋基于rank或者size的优化
- 可以确保每个操作的均摊时间复杂度为o(α(n))，α(n) < 5
推荐搭配
- Quick Union
- 基于Rank的优化
- Path Halving 或者Path Spliting

如果是自定义类型，想使用并查集

方案1：自定类型转成整型后使用并查集（比如生成哈希值）
方案2：使用链表 + 映射（Map）

码农公寓

常用的经典数据结构

并查集（Union Find）

如何存储数据

接口设计

初始化

并查集公共抽象类抽取

Quick Find实现

Quick Union实现

Quick Union优化

基于size 的优化

基于rank的优化 荐

总结

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