估计量总结

由于算法的数量很多，因此在此阶段对它们的属性进行概述是有意义的。 以下“词汇表”可用于此目的：

相干信号 如果一个信号是另一个的缩放和延迟版本，则两个信号是相干的。

一致性 如果在数据数量趋于无穷大时收敛到真实值，则估计是一致的。

统计效率 A,n 估计器如果渐近地达到 CramCr-Rao Bound (CRB)，则它在统计上是有效的，即； 任何无偏估计量的协方差矩阵的下限

我们将区分适用于任意阵列几何形状的方法和需要均匀线性阵列的方法。 表 1 和表 2 总结了算法描述中传达的信息。 假设已经获得样本协方差矩阵，还包括每种方法的主要计算要求。 在这里，一维搜索意味着参数估计是从参数空间上的 M 个一维搜索中计算出来的，而 M-D 搜索是指一个完整的 M 维数字优化搜索。 “良好”的统计性能是指估计的理论均方误差接近 CRB，在实际场景中通常在几个 dB 以内。

谱分析方法

如前所述，我们将参数估计技术分为两大类，即基于谱的方法和参数方法。 在前者中，一个或多个感兴趣的参数形成某种类似频谱的函数，例如 DOA。 所讨论函数的最高（分离）峰值的位置被记录为 DOA 估计值。 另一方面，参数化技术需要同时搜索所有感兴趣的参数。 后一种方法通常会导致更准确的估计，尽管以增加计算复杂性为代价。

本节讨论的基于频谱的方法可以分为波束成形技术和基于子空间的方法。

波束成形技术

使用天线阵列自动定位信号源的第一次尝试是通过波束成形技术。 这个想法是一次“引导”阵列在一个方向上并测量输出功率。 导致最大功率的转向位置产生 DOA 估计。 通过形成传感器输出的线性组合来控制阵列响应

给定样本 y( l),y(2),…,y(A9, 输出功率由下式测量

其中 R 在 (21) 中定义。 不同的波束成形方法对应于不同的加权向量 w 选择。 对于波束成形方法的精彩回顾，我们参考

传统波束成形器

传统（或 Bartlett）波束成形器是基于经典傅立叶的光谱分析 [121] 到传感器阵列数据的自然扩展。 对于任意几何结构的阵列，该算法最大化给定输入信号的波束成形输出功率。 假设我们希望最大化某个方向 8 的输出功率。给定从方向 8 发出的信号，阵列输出的测量值被加性噪声破坏并写为

最大化输出功率的问题然后被公式化为，

其中使用了空间白噪声的假设。 为了获得一个非平凡的解决方案，当执行上述最大化时，w 的范数被限制为 IwI = 1。 然后得到的解决方案是

上面的权重向量可以解释为一个空间滤波器，它已经与撞击信号匹配。 直观地说，阵列加权均衡了各种传感器上的信号所经历的延迟（以及可能的衰减），以最大限度地结合它们各自的贡献。

插入加权向量方程。 26 进入方程。 24、得到经典空间谱

对于各向同性传感器的均匀线性阵列，导向向量 a(0) 的形式为

称为电角。 通过插入方程。 28 进入方程。 27，并注意到 ja,IA(0)12 = M，我们获得了 P B F ( as) 时间序列分析中经典周期图的空间模拟，参见例如 [96]。 不幸的是，空间谱与周期图有相同的分辨率限制。 ULA 的标准波束宽度为 qB = 2x / L ，并且电角度比 (I~) 更近的源，无论可用数据质量如何，传统波束成形器都无法解析。这一点如图 4 所示，其中波束成形 光谱在两种不同的情况下与 DOA 作图。A4 的 ULA = 10 个半波长元件间间距的传感器（这种 ULA 通常被称为标准 ULA，因为 d = n/k 是允许的最大元件间隔） 避免歧义。）用于根据一批 N = 100 个数据样本分离两个不相关的发射器。两个源的信噪比 (SNR) 为 0 dlB。这种阵列的波束宽度为 2x / 10 = 0.63，这意味着光源需要至少相隔 12’ 才能被波束形成器分开。这也在图中得到了验证，因为对于 IO" 分离，光源几乎（但不是完全）被解析。

Capon 的波束成形器

为了减轻上述波束形成器的局限性，例如其对两个比波束宽度更近的源的分辨能力，研究人员提出了许多修改方案。 Capon [25] 提出了一种众所周知的方法，后来被 Lacoss [74] 解释为波束形成器的对偶。 优化问题被提出为

其中 P(w) 定义在等式。 24. 因此，Capon 的波束成形器（在声学文献中也称为最小方差无失真响应滤波器）试图将噪声和来自除 theta 以外的其他方向的任何信号贡献的功率降至最低，同时在“观察方向”theta上保持固定增益 .（这可以看作是一个尖锐的空间带通滤波器。）可以使用例如拉格朗日乘法器的技术找到最佳 w，导致

将上述权重代入（24）得到以下“空间谱”

很容易理解为什么 Capon 的波束形成器优于等式中给出的经典波束形成器。因为前者使用每个可用的*度将接收到的能量集中在一个方向，即感兴趣的方向。 这反映在等式中给出的约束。功率最小化也可以解释为牺牲一些噪声抑制能力，以在存在其他源的方向上进行更集中的“归零”。 尽管 Capon 波束形成器的分辨率能力仍然取决于阵列孔径并且显然取决于 SNR，但因此减少了来自紧密间隔源的光谱泄漏。 已经提出了许多用于波束成形的替代方法，以解决各种问题，例如由于信号相干性导致的部分信号消除 [149] 以及波束成形和干扰控制 [22,44, 1321。

基于子空间的方法

过去的许多谱方法都隐含地调用协方差矩阵的谱分解来进行分析（例如，Karhunen-Lokve 表示）。 当协方差矩阵的特征结构被显式调用时，最重要的贡献之一就出现了，它的内在属性直接用于为给定的观察过程提供潜在估计问题的解决方案。 涉及观察到的协方差矩阵的不变子空间的早期方法包括主成分因子分析 [SS] 和变量误差时间序列分析 [6S]。 在工程文献中，Pisarenko 在谐波检索方面的工作 [94] 是最早发表的。 然而，对子空间方法的巨大兴趣主要是由于引入了 MUSIC（多信号分类）算法 [13,1053]。 有趣的是，虽然早期的工作主要是在时间序列分析的背景下得出的，后来应用于传感器阵列问题，但 MUSIC 最初确实是作为 DOA 估计器提出的。 后来随着它的发展，它成功地回到了光谱分析/系统识别问题（参见例如 [118, 1351）。

MUSIC算法

如前所述，具有空间白噪声假设的精确协方差矩阵的结构意味着其频谱分解可以表示为

其中，假设 APAH 为满秩，对角矩阵 As 包含 M 个最大特征值。 由于 U 中的特征向量（噪声特征向量）与 A 正交，我们有

为了允许唯一的 DOA 估计，通常假设数组是明确的； 也就是说，对应于不同 DOA q k 的 L 个导向向量的任何集合形成一个线性无关的集合 {a(ql),…, a(qL)}（回忆 M < L）。 如果 a(.) 满足这些条件并且 P 具有满秩，则 APAH 也是满秩。 然后，01,…, 0 是方程中关系的唯一可能解。 34，因此可用于精确定位 DOA。

在实践中，协方差矩阵的估计 R 被获得，其特征向量被分离为信号和噪声特征向量，如公式 1 所示。 22. 噪声子空间上的正交投影估计为

MUSIC“空间频谱”定义为

尽管 PW(Q 在任何意义上都不是真正的频谱（它只是两个子空间之间的距离），但它在真实 DOA 附近表现出峰值，如（34）所示。各种基于频谱的估计器的性能 如图 5 所示，其中场景与图 4 相同。
MUSIC 估计器的性能改进非常显着，以至于它成为大多数现有方法的替代方法。 特别是，根据上述推理，任意精度的估计可以是如果数据收集时间足够长或 SNR 足够高，并且信号模型足够准确，则可以获得。 因此，与波束成形技术相比，MUSIC 算法提供了统计上一致的估计。 尽管 MUSIC 函数（方程 36）不代表频谱估计，但它的重要限制仍然是无法在小样本和低 SNR 情况下解析紧密间隔的信号。 对于高度相关的信号，这种分辨率损失更为明显。 在相干信号的极限情况下，违反了性质（等式 34）并且该方法无法产生一致的估计，例如参见 1671. 缓解此限制是一个重要问题，在本节末尾单独讨论。

MUSIC的扩展

MUSIC 算法引起了研究活动的显着增加，从而导致了大量提议的修改。 这些是尝试改进/克服其在各种特定场景中的一些缺点。 最值得注意的是加权MUSIC的统一主题，它针对不同的 W，专门针对各种算法

引入加权矩阵 W 以考虑（如果需要）每个特征向量的影响。 很明显，特征向量的均匀加权，即 W = I，导致原始 MUSIC 方法。 如[114]所示，这确实是产生最小渐近方差估计的最佳加权。 然而，在涉及小样本、低 SNR 和高度相关信号的困难场景中，精心选择的非均匀加权仍然可以提高估计器的分辨率能力，而不会严重增加方差。

给出了一种特别有用的加权选择

其中 el 是 L x L 单位矩阵的第一列。 这对应于在 [72,99] 中为 ULA 导出的 Min-Norm 算法，并在 [75] 中扩展到任意数组。 如 [61] 所示，Min-Norm 算法确实表现出较低的偏差，因此比原始 MUSIC 算法具有更好的分辨率，至少在应用于 ULA 时是这样。

分辨率增强的谱分析方法

众所周知，MUSIC 算法在估计对应于源的 DOA 的根的相位方面具有高精度的特性。 然而，估计半径 1691 中的偏差会影响使用空间谱时距离较近的源的分辨率。

在 1141 年首次提出，后来在 [21, 401] 中提出的解决方案是将 MUSIC 算法与一些空间预过滤相结合，从而产生所谓的 波束空间处理。 这确实相当于对接收到的数据进行预处理，使用一个预定义的矩阵 T，可以选择其列作为一组选择方向的导向向量：

显然，导向向量 a(@) 然后被 HT a(0) 替换，并且波束空间数据的噪声方差变为 02TTEIT。由于后一个原因，T 通常是正交的，并且在应用到 x(t ）。

很明显，如果选择某个空间扇区进行扫描（例如，关于源的广泛到达方向的一些先验知识可能可用），人们可能会体验到一些增益，最明显的是计算，作为一个较小的维度 的问题通常结果。 此外，与“子空间”MUSIC [40, 1581 1401 年已经注意到对空间相关噪声的某些鲁棒性。当人们回忆起空间前置滤波器具有带通特性时，可以直观地理解后一事实，这显然会趋于白化噪声。

基于标准函数的不同修改，在 135、62、1561 中提出了其他提高 MUSIC 方法分辨率的尝试。

相干信号

尽管 不太可能故意从不同方向传输两个相干信号，但这种现象并不少见，因为这是多径传播效应的自然结果，或者是有意的不友好干扰。最终结果源协方差中的秩不足。这会导致信号特征向量向噪声子空间的发散。因此，一般而言，任何 theta和 MUSIC“频谱” 可能无法在 DOA 位置产生峰值。 特别是，对于高度相关的信
在存在两个相干源和均匀线性阵列的简单情况下，有一种相当简单的方法来“解相关”信号。 该想法是采用如下前向后向 (FB) 平均。 请注意，ULA 导向向量（28 1 保持不变，直到缩放，如果它的元素被反转和复共轭。更准确地说，让 J 是一个 L L 交换矩阵，其分量为零，除了反对角线上的分量。 然后，对于 ULA，
因此，所谓的后向数组协方差矩阵采用以下形式
其中 CD 是一个对角矩阵，其中 i4k,k = 1,… .,Mon 是对角线，$k 如前所述。 通过对通常的数组协方差和RB求平均，得到FB数组协方差

参数方法

虽然上一节中介绍的基于光谱的方法在计算上很有吸引力，但它们并不总是能产生足够的精度。 特别是，对于涉及高度相关（甚至相干）信号的场景，基于频谱的方法的性能可能不足。 另一种选择是更充分地利用底层数据模型，导致所谓的参数数组处理方法。 正如我们将看到的，相干信号对这种方法没有概念上的困难。 为提高效率和稳健性而付出的代价是算法通常需要多维搜索才能找到估计值。 然而，对于均匀线性阵列 (ULA)，可以避免搜索，而性能损失很小（如果有的话）。

也许信号处理中最著名和最常用的基于模型的方法是最大似然 (ML) 技术。 这种方法需要一个用于数据生成过程的统计框架。 关于发射器信号的两种不同假设导致了阵列处理文献中相应的 ML 方法。 在本节中，我们将简要回顾这两种方法，讨论它们的相对优点，并介绍基于子空间的 ML 近似。 参数 DOA 估计方法通常在计算上非常复杂。 然而，如即将介绍的，对于 ULA，已知有许多要求不高的算法。

确定性最大似然

虽然假设数据模型中的背景和接收器噪声可以被认为是从大量独立的噪声源发出的，但发射器信号的情况通常并非如此。 因此，将噪声建模为平稳的高斯白随机过程似乎很自然，而信号波形是确定性的（任意的）和未知的。 （假设载波频率是已知的。） 假设空间白色且圆对称和虚部相同分布并具有偏对称互协方差，即 E[Re(n(t))Im(n (t))) = -EIIm(n(t))Re(nT(t) )]]噪声，噪声项的二阶矩采用以下形式

作为统计假设的结果，观测向量 x(t) 也是一个圆对称和时间上的白色高斯随机过程，平均 A(8)s(t) 和协方差矩阵 0’1。 似然函数是给定未知参数的所有观测值的概率密度函数 (PDF)。 一个测量向量 x(t) 的 PDF 是复数 L,-variate Gaussian：

其中 11. (1 表示欧几里得范数，为了符号方便，A(0) 的参数已被删除。由于测量是独立的，似然函数获得为

如上所述，似然函数中的未知参数是信号参数@、信号波形 s(t) 和噪声方差 c2。这些未知量的 ML 估计被计算为 L(B, s(t) 的最大化参数 ), 02)，基本原理是这些值使观测的概率尽可能大。 为方便起见，ML 估计也被定义为负对数似然函数 2 的最小化参数 -logL(0, ~ ( t )CI, )。 通过 N 归一化并忽略与参数无关的 L log n 项，我们得到

基于子空间的近似

如前所述，与传统波束成形方法相比，基于子空间的方法提供了显着的性能改进。 事实上，MUSIC 方法已被证明可以产生与 DML 方法相同的大样本精度的估计，前提是发射器信号不相关 [1121。然而，基于频谱的方法通常在有限样本中表现出很大的偏差 ，导致解析问题。 这个问题对于高源相关性尤其显着。 最近，已经开发出具有与 ML 方法相同的统计性能（理论上和实践上）的基于参数子空间的方法 [116,117,136,137]。 然而，这些所谓的子空间拟合方法的计算成本低于 ML 同上。 正如稍后将看到的，对于普遍存在的均匀线性阵列情况的计算上有吸引力的实现是已知的。