我的第一道数论紫题

首先，我们先看两个野人，他们相遇的充要条件是

\(C_i+P_i\times k\equiv C_j+P_j\times k\;(mod\;M)\) 其中\(k\)是第几年，且\(k\ge L_i\;and\;L_j\)

这个式子还是没有办法直接求解，我们对它进行如下变形

\(C_i+P_i\times k-C_j-P_j\times k=bM\)

\(k\times(P_j-P_i)+bM=C_i-C_j\)

令\(a=P_j-P_i,c=C_i-C_j\)

转化为\(ak+bM=c\)

用扩展欧几里得求解这个应该都知道吧

其中\(k,M\)是变量

我们对于每一个\(M\),只需要枚举每两个野人,只有他们对应的\(k\)都符合要求时，这个\(M\)便是可行的。

由于\(M\le10^6\)直接枚举即可\(AC\)

\(Code\)

#include <cstdio>

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn=20,maxm=1e6;

int l[maxn],p[maxn],c[maxn];

int n,m;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

    if(!b) {x=1;y=0;return a;}

    int ans=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;

    x=y;y=t-a/b*y;

    return ans;

}

bool check(int i,int j,int b)

{

    int a=p[j]-p[i],d=c[i]-c[j],x,y;

    if(a<0) a=-a,d=-d;

    int gcd=exgcd(a,b,x,y);

    if(d%gcd) return 1;

    return ((x*(d/gcd)%(b/gcd)+(b/gcd))%(b/gcd))>min(l[i],l[j]);

}

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        scanf("%d%d%d",c+i,p+i,l+i),m=max(m,c[i]);

    for(int i=m;i<=maxm;i++)

    {

        bool fg=1;

        for(int j=1;j<=n&&fg;j++)

            for(int k=1;k<=n&&fg;k++)

                if(k!=j) if(!check(j,k,i)) fg=0;

        if(fg)

        {

            printf("%d\n",i);

            break;

        }

    }

    return 0;

}