1.状态空间表达式

\(x_k是当前状态的状态值,k是当前值,x_{k-1}上一个时刻该状态的值\)
\(u_k，x_k的输入\)
\(w_k 过程噪声\)
\(A状态转移矩阵\)
\(B控制矩阵\)
\(y_k观测量\)
\(v_k观测噪声，和观测器的误差有关\)
\(C某种关系\)

案例

火炉对水加热

\(y_k 观测器(温度计)的观测值\)
\(x_k 实际的水温(状态的实际值)\)
\(C=1 假设线性变化\)
\(x_{k-1}上一时刻的水温\)
\(A=单位阵,假设加热过程是线性的\)
\(Bu_k=\Delta T 单位时刻增加的水温\)
\(w_k外界对加热系统的干扰，噪声\)

\(所以有\)
\(\begin{cases} x_k = x_{k-1} +\Delta T +w_k\\ y_k = x_k + v_k \end{cases}\)

系统方程方框图

2.高斯分布

直观图解

参数分析

误差,噪声，方差

exp这里举了一个gps的例子

方差

噪声的方差 \(Q_k,R_k\)
状态的方差/估计值的方差\(\hat x_t\),状态本身也是服从正态分布的,自己也有方差
观察可能是多维的，多维就是协方差矩阵

3.超参数

Q-过程噪声的方差
R-观察噪声的方差
这两个是要自己调的,超参数

4.卡尔曼直观图解

\(\rho是概率密度\)
\(\hat x_{k-1}是前一时刻的最优估计值，也就是修正值，也叫后验估计值\)
\(\hat x_{k}^- 这个有-的是先验估计值,是当前时刻的\)
\(y_k是当前时刻的观测值,这里可以y_k=x_k 也就是传感器测量出来的值\)
\(\hat x_{k}^-是基于上一时刻\hat x_{k-1}估计出来的估计值\)
\(还缺一个值\hat x_{k}，当前时刻的最优估计值,也就是滤波后的值\)
\(因为滤波后的方差变小了,更加光滑了\)

\(当前的最优估计值\hat x_{k}是由 \hat x_{k}^- 和观察值y_k计算出来的\)