一类骰子游戏中的概率计算

2023-10-16 16:09:28

一个骰子，一个跑道，停在某个格子上有奖励。含有这种模式的游戏不要太多，拿“大富翁”作个图示：

一类骰子游戏中的概率计算

在玩的时候时常在问自己：

  • 我停在前方第n格的概率是多少？
  • 我停在前方第n格的期望掷骰子数是多少？
  • 感性上说，我停在前方第100格的概率，应该和我停在前方第1000格的概率是一样的，那么这个概率是多少？

不妨就来编程解决这些个疑问。

Q1：停在前方第n格的概率是多少？

不妨先考虑简单的情形：

n = 1，那么我们至多能掷1次骰子，且仅值为1时满足条件，那么概率是 1 / 6 = 0.166667。

n = 2，那么我们至多能掷2次骰子，点数为 (1, 1) 或 (2) 时满足条件。所有掷骰子的情况是：{ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2) (3) (4) (5) (6) } 一共11种情况，那么概率是 2 / 11 = 0.181818。

我们可以总结出这样的公式：

  • 停在前方第n格的概率 = 正好停在第n格的情况数 ÷ 给定最多投掷数的情况下，停留的位置大于等于第n格的情况数 = F(n) / G(n)

 Step1：计算F(n) 

方法一：动态规划

显然，停在n格的情况数 = 停在n-1格的情况数 + 停在n-2格的情况数 + … + 停在n-6格的情况数，所以有：

  • 转移方程：F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6)
  • 边界条件：F(0) = 1，F(n<0) = 0

代码如下：

def calF(n):
    F_list = [0 for i in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(1,7):
            if i - j == 0: F_list[i] += 1 # 即F(0)=1
            elif i - j < 0: F_list[i] += 0 # 即F(n<0)=0
            else: F_list[i] += F_list[i-j]
    return F_list[-1]

方法二：递归算法

动态规划与递归都有着“分而治之”的思想，在某些情况下是能相互转换的。递归算法是这么看这个问题的：于当前位置，重复地执行掷骰子这一动作。若正好停在第n格，则计数器+1，函数返回；若大于第n格，则函数返回；若小于第n格，则继续掷骰子。

代码如下：

def calF_with_RA(n, counter): 
    # n：到目标的距离
    # counter：达成条件的情况计数器
    for i in range(1,7):
        if i == n: 
            counter += 1
            return counter
        elif i < n:
            counter = calF_with_RA(n-i, counter)
    return counter

Step2：计算G(n)

如果在Step1中采用了递归算法，那么只要改写一下函数中计数器的达成条件，和函数退出的位置即可，代码如下：

def calG_with_RA(n, counter): 
    # n：到目标的距离
    # counter：达成条件的情况计数器
    for i in range(1,7):
        if i >= n: 
            counter += 1
        else: counter = calG_with_RA(n-i, counter)
    return counter

Step3：计算并画图

于是计算概率的函数有：

def calF_divide_G(n):
    F = calF_with_DP(n)
    G = calG_with_RA(n, 0)
    return F/G

把n=1到20的概率画出来：

一类骰子游戏中的概率计算
if __name__ == '__main__': 
    prob = []
    for i in range(1,21):
        prob.append(calF_divide_G(i))
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_) # 转换数据类型 否则plot中会显示浮点数
    plt.plot(n,prob,linewidth=2,color='r',marker='o', markerfacecolor='blue',markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('P(n)')
    plt.show()
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一类骰子游戏中的概率计算

可以看出确实有收敛的趋势（n取大于25时，程序会变得异常难算，难以展示），收敛到的概率是0.196717（保留6位小数），这也正好回答了Q3。另外，n=6时概率最大，值为0.198758（保留6位小数）。

Q2：停在前方第n格的期望掷骰子数是多少？

一个思路是，记录所有到达第n格的掷骰子“轨迹”，然后对所有轨迹进行统计。由于递归算法本身就有打印轨迹的能力，顺便再统计点相关的数据自然不在话下，于是改写递归函数：

def throw_dice(n, track, record):
    # n：到目标的距离
    # track：骰子的轨迹
    # record：记录所有轨迹的长度（即掷骰子次数）
    for i in range(1,7):
        if i == n:
            track.append(i)
            print(track)
            record.append(len(track))
            return record
        elif i < n:
            track_ = track.copy()
            track_.append(i)
            throw_dice(n-i, track_, record)
    return record

遍历所有掷骰子轨迹，求出掷骰子数的概率分布和期望：

def get_dice_distribution(n):
    record = throw_dice(n, [], [])
    Min = min(record)
    Max = max(record)
    distribution = [0 for i in range(Max - Min + 1)]
    for num in record:
        distribution[num - Min] += 1
    Sum = sum(distribution)
    for i, num in enumerate(distribution): # 求掷骰子数的概率分布
        distribution[i] = num / Sum
    
    expectation = 0 # 求期望掷骰子数
    for i in range(Max - Min +1):
        expectation += (Min + i) * distribution[i]
    print(expectation)
    
    return Min, Max, distribution, expectation

画出掷骰子数的概率分布（以n=10为例）：

一类骰子游戏中的概率计算
def plotDistribution(n):
    Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(n)
    N = np.arange(Min, Max+1).astype(dtype=np.str_)
    plt.bar(N, distribution)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('throwing times')
    plt.show()
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一类骰子游戏中的概率计算

画出n=1到20的期望掷骰子数：

一类骰子游戏中的概率计算
def plotExpectation():
    expectation_list = []
    for i in range(1,21):
        Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(i)
        expectation_list.append(expectation)
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_)
    plt.plot(n, expectation_list, linewidth=2, color='r', marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('E(n)')
    plt.show()
    return expectation_list
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一类骰子游戏中的概率计算

可以看出，大致上是一个线性的关系，打印出具体的数据：

一类骰子游戏中的概率计算

可以看出，当n小于等于6时，是线性的；大于6时，大致上是线性的。

整体代码：

一类骰子游戏中的概率计算
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt 


def calF_with_DP(n):
    F_list = [0 for i in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(1,7):
            if i - j == 0: F_list[i] += 1 # 即F(0)=1
            elif i - j < 0: F_list[i] += 0 # 即F(n<0)=0
            else: F_list[i] += F_list[i-j]
    return F_list[-1]


def calF_with_RA(n, counter): 
    # n：到目标的距离
    # counter：达成条件的情况计数器
    for i in range(1,7):
        if i == n: 
            counter += 1
            return counter
        elif i < n:
            counter = calF_with_RA(n-i, counter)
    return counter


def calG_with_RA(n, counter): 
    # n：到目标的距离
    # counter：达成条件的情况计数器
    for i in range(1,7):
        if i >= n: 
            counter += 1
        else: counter = calG_with_RA(n-i, counter)
    return counter


def calF_divide_G(n):
    F = calF_with_RA(n, 0)
    G = calG_with_RA(n, 0)
    return F/G


def plotPn():
    prob = []
    for i in range(1,21):
        prob.append(calF_divide_G(i))
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_) # 转换数据类型 否则plot中会显示浮点数
    plt.plot(n, prob, linewidth=2, color='r', marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('P(n)')
    plt.show()


def throw_dice(n, track, record):
    # n：到目标的距离
    # track：骰子的轨迹
    # record：记录所有轨迹的长度（即掷骰子次数）
    for i in range(1,7):
        if i == n:
            track.append(i)
            record.append(len(track))
            return record
        elif i < n:
            track_ = track.copy()
            track_.append(i)
            throw_dice(n-i, track_, record)
    return record


def get_dice_distribution(n):
    record = throw_dice(n, [], [])
    Min = min(record)
    Max = max(record)
    distribution = [0 for i in range(Max - Min + 1)]
    for num in record:
        distribution[num - Min] += 1
    Sum = sum(distribution)
    for i, num in enumerate(distribution): # 求掷骰子数的概率分布
        distribution[i] = num / Sum
    
    expectation = 0 # 求期望掷骰子数
    for i in range(Max - Min +1):
        expectation += (Min + i) * distribution[i]
    print(expectation)
    
    return Min, Max, distribution, expectation

    
def plotDistribution(n):
    Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(n)
    N = np.arange(Min, Max+1).astype(dtype=np.str_)
    plt.bar(N, distribution)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('throwing times')
    plt.show()


def plotExpectation():
    expectation_list = []
    for i in range(1,21):
        Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(i)
        expectation_list.append(expectation)
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_)
    plt.plot(n, expectation_list, linewidth=2, color='r', marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('E(n)')
    plt.show()
    return expectation_list
    
if __name__ == '__main__':
    # plotPn()
    # plotDistribution(10)
    expectation_list = plotExpectation()
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小结

使用动态规划和递归算法解决了问题（实际上可以完全依靠递归）。递归函数由于具有打印轨迹的能力，携带信息多，可拓展性强，稍微改写就能满足需要。

 

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