设 $f(x)$ 是 $0\leq x<\infty$ 上的非负连续函数并满足

 

(1). 在 $0\leq x<\infty$ 上存在有界导数 $f'(x)$;

 

(2). $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<\infty}$. 求证: $\dps{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$. (山东大学)

 

证明: 设 $|f'|\leq M$, 则由 Lagrange 中值定理, $$\bex |f(x)-f(y)|=|f'(\xi)|\cdot |x-y|\leq M|x-y|. \eex$$ 而 $f$ Lipschitz 连续, 一致连续. 由例 4.5.24 即知结论成立.