朴素贝叶斯
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朴素贝叶斯算法适合给文档分类。
词向量
先对文档分词，所有文档中所有不同的词构成词汇表。每个文档根据词汇表能形成一个词向量，1表示对应维度的词条出现在文档中，0表示词条未出现。
这种想法推广开来，发现向量是新时代的数字。
比如一个可能发生的事件集合，可以表示为一个向量，每个维度对应一个事件发生的概率。
问题描述
任给一个文档，怎样确定其分类？
每个文档对应一个词向量$\vec w$，需要确定$p(c_i|\vec w)$的最大值，即：已知这个文档的条件下，把这个文档归为哪个类的概率最大？
朴素贝叶斯
$$
分类(\vec w) = p(c_i|\vec w)_{max}=\frac{p(\vec w|c_i)p(c_i)}{p(\vec w)}
$$
其中$\vec w$表示词向量。对于任意一个分类$c_i$，$p(\vec w)$是相同的，因而只需要确定$p(\vec w|c_i)$和$p(c_i)$。
$p(c_i)$：从训练数据中，用简单除法得到。
$p(\vec w|c_i)$:根据朴素贝叶斯假设，特征向量$\vec w$在$c_i$条件下相互独立，也就是：给定目标值时属性之间相互条件独立：
$$
p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)
$$
而对于$p(w_j|c_i)$，只需要在扫描训练数据时，依据$c_i$过滤数据项，在这些被过滤出的数据中（都是$c_i$类的），用简单统计的结果相除，就得到在$j$维上的概率权值$e(w_j|c_i)$。为什么不是$p(w_j|c_i)$?因为最终要计算的是一个未知分类的向量$\vec x$的分类，需要将$\vec x$与概率权值向量$\vec e$对应位相乘，这才得到$p(w_j|c_i)$序列。$\vec x$中的元素非1即0，如果元素为1，那么$p(w_j|c_i)$就取$e(w_j|c_i)$，否则取0。
简单优化
条件概率乘积为0
$p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)$这个公式中，一旦$p(w_j|c_i)$等于0，整个结果就是0。但是对于$\vec w$，你怎样判断$\Pi p(w_j|c_i)=0$的所有$c_i$，该如何判断哪个$c_i$更好？万一所有的$c_i$对应的$p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)$都等于0，该怎样确定最终的分类？因此，要避免某个$p(w_j|c_i)$等于0。一个办法是使用拉普拉斯平滑：将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2。对应《机器学习实战》中文版P62的代码：
p0Num = onew(numWords)
p1Num = ones(numWords)
p0Denom = 2.0
p1Denom = 2.0条件概率乘积下溢
相乘的都是概率，都是小于1的数，乘不了几次就得到非常小的数字，产生下溢，干扰比较。一个方法是用取对数。没错，就是这么老套的办法，但是管用，因为$\forall x \in (0,1)$，x越小，$\log x$的绝对值越大，或者说负的程度越大。对于$p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)$取对数，就是一堆负数相加。这种情形下对于任意的$\vec x$是很方便的。
当然，公式中还有一个$p(c_i)$，也需要对数处理后相加。
代码
使用分类器
在训练阶段我们只计算$e(\vec w|c_i)$，这其实就是训练出来的分类器。一旦完成训练，就可以使用分类器：
def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
"""
@param vec2Classify: 需要被分类的词向量
@param p0Vec: 第0类对应的词概率向量
@param p1Vec: 第1类对应的词概率向量
@param
"""
p1=sum(vec2Classify*p1Vec) + np.log(pClass1)
p0=sum(vec2Classify*p0Vec) + np.log(1.0-pClass1)
if p1>p0:
return 1
else:
return 0训练模型
使用训练数据，训练出分类器，也就是获取$e(\vec w|c_i)$和$e(c_i)$。同时修正了《机器学习实战》P61的一个bug，即对于$p1Vect和p0Vect的计算，分母应当是训练数据对应类的向量总数，而不是元素总和$：
def trainNB0(trainMatrix, trainCategory):
"""
朴素贝叶斯分类器训练函数:计算P(\vec w|c_1)和P(\vec w|c_2)
@param trainMatrix：训练矩阵
@param trainCategory: 和trainMatrix配套使用的向量，表示每个trainMatrix[i]所属类别
"""
numTrainDocs = len(trainMatrix) #文档总数
numWords=len(trainMatrix[0]) #向量维数：不重复的单词数量
pAbusive=sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)
p0Num=np.ones(numWords)
p1Num=np.ones(numWords)
p0Denom=2.0
p1Denom=2.0
for i in range(numTrainDocs):
if trainCategory[i]==1:
p1Num += trainMatrix[i]
#p1Denom += sum(trainMatrix[i]) ##去掉这句
else:
p0Num += trainMatrix[i]
#p0Denom += sum(trainMatrix[i]) ##去掉这句
#p1Vect = p1Num/p1Denom ##书上这句是错的
#p0Vect = p0Num/p0Denom ##这句也是错的
num_c1 = sum(trainCategory)
num_c0 = len(trainCategory) - num_c1
p1Vect = log(p1Num / num_c1) #这才正确的是p(\vec w|c_1)
p0Vect = log(p0Num / num_c0) #这才正确的是p(\vec w|c_0)
return p0Vect, p1Vect, pAbusive #pAbusive就是p(c_1)理论上到这里就算出了基本的表达式，可以用来比较了。
总结
感觉《机器学习实战》第四章朴素贝叶斯对于取对数的说明不够清楚，使用分类器时的向量相乘更是没有任何说明，让人一头雾水。不过章节后面的垃圾邮件分类和词语倾向性的例子还不错~