设 $k,i,j$ 都是自然数, 且 $k=i+j$, 试求级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{(kn-i)(kn+j)}}$ 的和.

解答: 原级数的前 $N$ 项和为 $$\beex \bea \sum_{n=1}^N \frac{1}{(kn-i)(kn+j)} &=\frac{1}{k}\sum_{n=1}^N \sex{\frac{1}{kn-i}-\frac{1}{kn+j}} =\frac{1}{k}\sez{\sum_{n=1}^N \frac{1}{kn-i} -\sum_{n=1}^N \frac{1}{k(n+1)-i}}\\ &=\frac{1}{k}\sez{\frac{1}{k-i}-\frac{1}{k(N+1)-i}}. \eea \eeex$$ 故所求级数和为 $\dps{\frac{1}{k(k-i)}}$.