证明级数 $$\bex 1 +\frac{1}{\sqrt{3}} -\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{5}} +\frac{1}{\sqrt{7}} -\frac{1}{\sqrt{4}} +\frac{1}{\sqrt{9}} +\frac{1}{\sqrt{11}} -\frac{1}{\sqrt{6}} +\cdots \eex$$ 发散到 $+\infty$. (吉林大学)

证明: 由 $$\beex \bea \frac{1}{\sqrt{4k-3}} +\frac{1}{\sqrt{4k-1}} -\frac{1}{\sqrt{2k}} &=\frac{\sqrt{4k-1}+\sqrt{4k-3}}{\sqrt{(4k-3)(4k-1)}} -\frac{1}{\sqrt{2k}}\\ &=\frac{\sqrt{4k-1}+\sqrt{4k-3}}{\sqrt{16k^2-16k+3}}-\frac{1}{\sqrt{2k}}\\ &\geq \frac{\sqrt{4k-1}+\sqrt{4k-3}}{4k} -\frac{2\sqrt{2k}}{4k}\\ &\geq \frac{\sqrt{4k-3}-\sqrt{2k}}{2k}\\ & =\frac{1}{2k}\cdot \frac{1}{\sqrt{\xi_k}}[(4k-3)-2k]\quad\sex{2k<\xi_k<4k-3}\\ &\geq \frac{1}{2k\sqrt{4k-3}}(2k-3)=\sex{1-\frac{3}{2k}}\frac{1}{\sqrt{4k-3}}\\ & \geq \frac{1}{4\sqrt{4k-3}}\quad\sex{k\geq 2} \eea \eeex$$ 知原级数的前 $3N$ 项和 $S_{3N}$ 发散到 $+\infty$. 又由 $$\bex S_{3N-1}-\frac{1}{\sqrt{2N}}=S_{3N},\quad S_{3N-2}=S_{3(N-1)+1}=S_{3(N-1)}+\frac{1}{\sqrt{4N-3}} \eex$$ 知 $S_{3N-1}$, $S_{3N-2}$ 均发散到 $+\infty$, 而由结论成立.