PangRank算法原理及其Python实现

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算法来源

早期搜索引擎采用分类目录的方法,通过人工进行网页分类,并整理出高质量的网页。

后来,随着网页的增多,人工分类已经不现实,此时期搜索引擎采用文本检索的方法,即计算用户检索的关键词与网页内容的相关度,返回所有结果,但关键词并不能反映网页的质量,搜索效果不好。

斯坦福大学的两位研究生佩奇 (Larry Page)和布林 (Sergey Brin) 借鉴了学术论文排序的方法,即论文被引用次数,提出了评价网页质量的方法:

  • 若一个网页被其他网页链接,说明该网页重要性较高;
  • 被高质量网页链接的网页,其重要性相应提高;

算法原理

如下图所示A、B、C和D网页之间的链接图:

PangRank算法原理及其Python实现

该有向图的概率转移矩阵,又称Markov矩阵,如下:
T=(01/2101/3001/21/3001/21/31/200) T = \left( \begin{matrix} 0 & 1/2 & 1 & 0\\ 1/3 & 0 & 0 & 1/2\\ 1/3 & 0 & 0 & 1/2\\ 1/3 & 1/2 & 0 & 0 \end{matrix} \right) T=⎝⎜⎜⎛​01/31/31/3​1/2001/2​1000​01/21/20​⎠⎟⎟⎞​
其中T[i][j]T[i][j]T[i][j]表示第jjj个网页跳转至第iii个网页的概率,转移矩阵的列向量元素和为1。如A网页可跳转至B、C和D网页,跳转概率均为1/3。

初始各网页具有相同PR值,即
V0=(1/41/41/41/4)T V_0=(1/4\quad 1/4 \quad 1/4 \quad 1/4)^T V0​=(1/41/41/41/4)T
持续nnn次转移后,得到网页的最终PR值,即
Vn=TVn1=TnV0 V_n = T\cdot V_{n-1} = T^n \cdot V_0 Vn​=T⋅Vn−1​=Tn⋅V0​

n+n\rightarrow +\inftyn→+∞,若概率转移矩阵TTT满足以下条件,则VnV_nVn​最终收敛:

  • 概率转移矩阵是随机矩阵,即T[i][j]0T[i][j] \geq 0T[i][j]≥0,且iT[i][j]=1\sum_{i}T[i][j]=1∑i​T[i][j]=1;

  • 概率转移矩阵是不可约的,即TTT对应强连通图,图中任何节点都可以到达其他节点,即TTT中不存在全0列(终止节点),且转移矩阵对角线元素不为1(陷阱节点)。终止节点没有到达任何节点的链接,最终得到的PR向量为0向量;陷阱节点只有跳转至自身的链接,最终得到的PR向量中仅陷阱节点的PR值为1,其他节点的PR值为0;

  • 概率转移矩阵是非周期的,即TTT为素矩阵,自身的某次幂为正矩阵;

因此,上述例子得到的最终PR向量为
limn+Vn=limn+TnV0=(3/92/92/92/9)T \lim_{n\rightarrow+\infty}V_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}T^n\cdot V_0=(3/9 \quad 2/9 \quad 2/9 \quad 2/9)^T n→+∞lim​Vn​=n→+∞lim​Tn⋅V0​=(3/92/92/92/9)T
结果表明,经过n次跳转后,用户停留在A网页的概率为3/9,高于其他网页。

终止节点和陷阱节点

终止节点

终止节点是指,没有任何出链的节点,如下图中的C节点:

PangRank算法原理及其Python实现

终止节点在概率转移矩阵中,对应列元素全为0,如下:
T=(01/2001/3001/21/3001/21/31/200) T = \left( \begin{matrix} 0 & 1/2 & \color{red}\bm0 & 0\\ 1/3 & 0 & \color{red}\bm0 & 1/2\\ 1/3 & 0 & \color{red}\bm0 & 1/2\\ 1/3 & 1/2 & \color{red}\bm0 & 0 \end{matrix} \right) T=⎝⎜⎜⎛​01/31/31/3​1/2001/2​0000​01/21/20​⎠⎟⎟⎞​
其中,状态转移矩阵中第3列元素全为0,表明第3个节点没有跳转至任何节点的链接,该节点为终止节点。

容易验证,执行第n次转移后,PR向量的元素和不断减小,即
iVn[i]=iVn1[i]Vn1[3] \sum_{i} V_n[i]=\sum_{i} V_{n-1}[i]-V_{n-1}[3] i∑​Vn​[i]=i∑​Vn−1​[i]−Vn−1​[3]
最终得到的PR向量为
limn+Vn=(0000) \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}V_n=(0 \quad 0 \quad 0 \quad 0) n→+∞lim​Vn​=(0000)

陷阱节点

陷阱节点是指,只有跳转至自身链接的节点,如下图中的C节点:

PangRank算法原理及其Python实现

陷阱节点在概率转移矩阵中,对应的对角线元素为1,如下:
T=(01/2001/3001/21/3011/21/31/200) T = \left( \begin{matrix} 0 & 1/2 & 0 & 0\\ 1/3 & 0 & 0 & 1/2\\ 1/3 & 0 & \color{red}\bm1 & 1/2\\ 1/3 & 1/2 & 0 & 0 \end{matrix} \right) T=⎝⎜⎜⎛​01/31/31/3​1/2001/2​0010​01/21/20​⎠⎟⎟⎞​
其中,状态转移矩阵对角线的第三个元素为1,表明第3个节点只有跳转至自身的链接,该节点为陷阱节点。

容易验证,执行第n次后,陷阱节点对应的PR值不断增大,即
Vn[3]=Vn1[3]+j3T[3][j]Vn1[j] V_n[3]=V_{n-1}[3]+\sum_{j\neq 3} T[3][j]\cdot V_{n-1}[j] Vn​[3]=Vn−1​[3]+j̸​=3∑​T[3][j]⋅Vn−1​[j]
最终得到PR向量为
limn+Vn=(0010) \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}V_n=(0 \quad 0 \quad 1 \quad 0) n→+∞lim​Vn​=(0010)

解决思路

当用户遇到终止节点网页或陷阱节点网页,用户可通过在浏览器重新输入新的地址,以逃离这个网页。因此,对转移公式进行如下修正:
Vn=αTVn1+(1α)V0 V_n = \alpha T\cdot V_{n-1} + (1-\alpha)V_0 Vn​=αT⋅Vn−1​+(1−α)V0​
可见,用户以1α1-\alpha1−α的概率通过地址栏跳转至其它网页,α\alphaα值的大小与算法的收敛速度成反比,一般选取为0.85。

算法不足

第一,未区分站内导航链接。与站内导航链接相比,外链更能体现PR值的传递关系;

第二,未过滤广告链接和功能链接。如没有实际价值的广告链接,以及“分享到微博”等功能链接;

第三,对新网页不友好。新网页的入链较少,即使其内容质量很高,要获得高PR值仍需要很长时间;

算法实现

# encoding: utf-8

import numpy as np
from numpy.linalg import norm


def graph2trans_mat(graph):
    """
    根据图生成概率转移矩阵

    :param graph: list, [['A', 'B'], ...]表示节点A可向节点B转移
    :return: numpy.array, 概率转移矩阵, 元素[i, j]表示节点j可向节点i的转移概率
    """
    # 统计节点数
    nodes_set = set()
    for edge in graph:
        if edge[0] not in nodes_set:
            nodes_set.add(edge[0])
        if edge[1] not in nodes_set:
            nodes_set.add(edge[1])

    # 定义节点字典, key为节点名称, value为节点编号
    nodes_num = len(nodes_set)
    nodes_dict = dict(zip(sorted(nodes_set), range(nodes_num)))

    # 生成概率转移矩阵trans_mat, [i, j]为1表示节点j可向节点i转移
    trans_mat = np.zeros((nodes_num, nodes_num), dtype=np.float64)
    for j, i in graph:
        trans_mat[nodes_dict[i], nodes_dict[j]] = 1.

    # 列向量单位化
    trans_mat /= trans_mat.sum(axis=0)
    return trans_mat


def page_rank(trans_mat, alpha=0.85, max_iter=100, epsilon=1e-5):
    """
    迭代计算节点的PR值

    :param trans_mat: 概率转移矩阵,A[i][j]表示第j个节点转移到第i个节点的概率
    :param alpha: 跳转至初始状态的因子
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :param epsilon: 向量PRn与向量PRn_1之差的1范数小于该值时, 终止迭代
    :return: list, 各节点的PR值
    """
    # 节点数目
    nodes_num = trans_mat.shape[0]
    # 初始PR向量
    PR0 = np.full((nodes_num, 1), 1. / nodes_num, dtype=np.float64)
    PRn_1 = np.copy(PR0)

    for i in range(max_iter):
        PRn = alpha * np.dot(trans_mat, PRn_1) + (1 - alpha) * PR0
        # PR向量改变较小时,终止迭代
        if norm(PRn - PRn_1, ord=1) < epsilon:
            break
        else:
            PRn_1 = PRn

    return PRn_1


if __name__ == '__main__':
    graph = [
        ['A', 'B'],
        ['A', 'C'],
        ['A', 'D'],
        ['B', 'A'],
        ['B', 'D'],
        ['C', 'A'],
        ['D', 'B'],
        ['D', 'C']
    ]
    print(page_rank(trans_mat=graph2trans_mat(graph))[:, 0])
    # [0.32455881 0.22514706 0.22514706 0.22514706]
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