模群
令\(\mathbb{H}\)是\(\mathbb{C}\)的上半平面，也即任意\(z\in \mathbb{H}\)满足\(\text{Im}(z) > 0\)。对任意矩阵

\[g = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\in \mathbf{PSL}_2(\mathbb{Z})\]

也即满足\(ad-bc = 1\)且\(g\)与\(-g\)视作同一元素的矩阵，我们定义

\[gz = \frac{az+b}{cz+d} \]

称作用在\(\mathbb{H}\)上的群\(G = \mathbf{PSL}_2(\mathbb{Z})\)为模群。可以验证模群的生成元为

\[S = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, T = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

或者说

\[Sz = -1/z\qquad Tz = z+ 1 \]

模函数
令\(q = \exp(2\pi i z)\)，我们考虑以下形式的函数

\[f(z) = \sum_{n=m}^\infty a_nq^n \]

并且满足权重条件

\[f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{k}f(z), k \in \mathbb{N} \]

如果\(f\)是亚纯函数且\(m > -\infty\)，则称\(f\)为权重为\(k\)的模函数。
如果\(f\)是全纯函数且\(m \geq 0\)，则称\(f\)为权重为\(k\)的模形式。
如果\(f\)是全纯函数且\(m > 0\)，则称\(f\)为权重为\(k\)的尖点形式。

权重条件有几个的等价定义。首先利用模群，我们可以验证等价条件

\[f(z + 1) = f(z) \qquad f(-1/z) = z^{k}f(z), k \in \mathbb{N} \]

其次，我们也可以用\(\mathbb{C}\)上的格来定义权重条件。令格\(\Gamma(\omega_1, \omega_2)\)满足\(\text{Im}(\omega_1/\omega_2) > 0\)，而\(F\)是从\(\Gamma\)到复数\(z\)的函数，则权重条件是

\[F(\lambda\Gamma) = \lambda^{-k}F(\Gamma), k \in \mathbb{N} \]

取\(\lambda = 1/\omega_2, z = \omega_1/\omega_2\)，就可以写成

\[F(\lambda\omega_1, \lambda\omega_2) = \lambda^{-k}F(\omega_1, \omega_2) \]

\[F(\omega_1, \omega_2) = \omega_2^{-k}F(\omega_1/\omega_2, 1) = \omega_2^{-k}f(z) \]

由\(F\)在\(\mathbf{SL}_2(\mathbb{Z})\)下的不变性，也即

\[F(a\omega_1 + b\omega_2, c\omega_1 + d\omega_2) = F(\omega_1, \omega_2) \]

\[f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz + d)^{-k}f(z) \]

Eisenstein级数
模形式最重要的例子是Eisenstein级数

\[G_k(\Gamma) = \sum_{\gamma\neq 0 \in \Gamma} \frac{1}{\gamma^{k}}, k > 2 \]

或者可以写成

\[G_k(z) = \sum_{(m,n)\neq (0,0)} \frac{1}{(mz+n)^{k}}, k > 2 \]

这是权重为\(k\)的模形式。

我们令\(M_k\)是权重为\(2k\)的模形式组成的空间，它是\(\mathbb{C}\)上的线性空间，它的基为\(G_2^\alpha G_3^\beta, 2\alpha + 3\beta = k\)，因而

\[\dim M_k = \begin{cases} [k/6] & k = 1 \mod 6\\ [k/6] + 1 & k \neq 1 \mod 6 \end{cases}\]

模判别式
我们令\(g_2 = 60G_4, g_3 = 140G_6\)，考虑Weierstrass椭圆函数

\[y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 \]

它的判别式是

\[\Delta = g_2^3 - 27 g_3^2 \]

这个判别式是权重为12的尖点形式，称为模判别式。如果\(\Delta \neq 0\)，则称其为\(\mathbb{C}\)上的椭圆曲线。

j不变量
我们称

\[j = 1728g_2^3/\Delta \]

为j不变量，这是一个权重为\(0\)的模函数。为什么选择1728这个数字呢？因为这使得j在\(q=0\)的留数恰好是1，即

\[j(z) = \frac{1}{q} + 744 + \sum_{n=1}^\infty c(n)q^n, q=exp(2\pi iz) \]

其中

\[c(n)\sim \frac{\exp(4\pi\sqrt{n})}{\sqrt{2}n^{3/4}} \]

我们还可以证明，任意权重为\(0\)的模函数都是j不变量的有理函数。

令\(f\)为权重为0的模函数（阶小于0）。由于\(\Delta\)是尖点形式（阶大于0），存在\(n\geq 0\)使\(g = \Delta^n f\)是模形式。由于\(g\)的权重是\(12n\)，因此它是\(G_2^\alpha G_3^\beta, 2\alpha + 3\beta = 6n\) 的线性组合。我们考虑单个\(g' = G_2^\alpha G_3^\beta\)也即\(f' = G_2^\alpha G_3^\beta/ \Delta^n\)。由于\(2\alpha + 3\beta = 6n\)，因此\(p = \alpha/2, q = \beta/3\)是整数，则

\[f' = \left(\frac{G_2^3}{\Delta}\right)^p \left(\frac{G_3^2}{\Delta}\right)^q \]

而\(G_2^3/\Delta, G_3^2/\Delta\)都是\(j\)的有理函数