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题目：279. 完全平方数
难度： 中等
题目：
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例1
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例2
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示：
- `1 <= n <= 10^4
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
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解题思路及代码
题意是：求解若干个由完全平方数（1、4、9、16…）组成之和为n的最少个数，可以将题目这样理解：给定一系列硬币：[1, 4, 9, 16,…]，可以重复选取，找出值为n的最小硬币组合。这样就把问题转换为了完全背包问题。
（1）完全背包问题-动态规划
可以根据力扣每日一题：518. 零钱兑换 II得出思路：
- 首先，将所有可能的平方数加入coins数组，并得出其大小m
- 构建二维dp[m + 1][n + 1]，dp[i][j]表示前i个硬币中构成金额j的最小组合数。
- 遍历coins，当前的硬币为coin。所以状态转移方程有以下两种情况：
- j < coin，不取当前硬币， dp[i][j] = dp[i - 1][j]
- j >= coin，即取当前硬币，dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coin] + 1)。选择不取硬币达到j的金额和加上当前硬币等于金额j中的较小值。
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
//2.由518.零钱兑换改进
//可以理解为，平方数[1,4,9,16...]为零钱
vector<int> coins;
for (int i = 1; i * i <= n; i++)
{
coins.push_back(i * i);
}
int m = coins.size();
//dp[i][j]表示：前i个硬币构成金额j的最小硬币数
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int coin = coins[i - 1];
for (int j = 0; j <= n; j++)
{
if (j < coin)//不取
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
else
{
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coin] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
（2）动态规划+空间优化
背包问题都可降维，该题也不例外。只需遍历所有平方数，根据之前的金额加上当前金额取出最小值，而后结果为最小值加1就可求得当前的最小值。
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int minn = INT_MAX;
for (int j = 1; j * j <= i; j++)
{
minn = min(minn, dp[i - j * j]);
}
dp[i] = minn + 1;
}
return dp[n];
}
};
（3）BFS
7
/ \
6 3
/ \ \
5 2 2
/ \ \
1 4 1
如上图，对于数字7可以通过BFS层序遍历求解：
- 7入队列，7 - 1 = 6,7 - 4 = 3,7 - 9 = -2，因为6 和 3为正数且没有访问过，所以6 和 3加入队列。
- 同理，接着在同一层里分别对6和3进行如上操作，得出下一层。直到任意一个值减去平方数为0，比如：1 - 1 = 0，4 - 4 = 0，那么遍历结束。对应的层数为最小个数。
所以，只需一个队列和一个哈希表进行层序遍历就可以了，其中哈希表用来标记访问过的数字，减少重复计算。
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
//3.BFS
queue<int> que;//队列
que.push(n);
unordered_set<int> visit;//标记是否已被访问
visit.insert(n);
int level = 0;
while (!que.empty())
{
int len = que.size();
level++;
//遍历一层
for (int i = 0; i < len; i++)
{
int tmp = que.front();
que.pop();
for (int j = 1; j * j <= tmp; j++)
{
int num = tmp - j * j;
if (num == 0)
{
return level;
}
if (visit.count(num) == 0)
{
visit.insert(num);
que.push(num);
}
}
}
}
return level;
}
};