模群
令\(\mathbb{H}\)是\(\mathbb{C}\)的上半平面，也即任意\(z\in \mathbb{H}\)满足\(\text{Im}(z) > 0\)。对任意矩阵
也即满足\(ad-bc = 1\)且\(g\)与\(-g\)视作同一元素的矩阵，我们定义
\[gz = \frac{az+b}{cz+d} \]称作用在\(\mathbb{H}\)上的群\(G = \mathbf{PSL}_2(\mathbb{Z})\)为模群。可以验证模群的生成元为
\[S = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, T = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]或者说
\[Sz = -1/z\qquad Tz = z+ 1 \]这个群作用的基本域是满足\(|z| \geq 1\)和\(|\text{Re}(z)| \leq 1/2\)的区域\(D\)。
Peterson内积与Hecke算子
令\(f,g\)是权重为\(k\)的尖点形式，则他们的Peterson内积定义为基本域\(D\)上的积分
而Peterson内积的厄米算子是Hecke算子\(T(n)\)。令\(F\)是权重为\(k\)的模函数/模形式/尖点形式，则Hecke算子\(T(n)\)把\(F\)变换为另一个权重为\(k\)的模函数/模形式/尖点形式\(T(n)F\)，定义为
\[T(n)F(\Gamma) = \sum_{(\Gamma':\Gamma) = n}F(\Gamma') \]从这个定义可以看出
- 如果\((m,n) = 1\) ，那么\(T(m)T(n) = T(mn)\)。
- 如果\(p\)是素数，那么\(T(p) T(p^n) = T(p^{n+1}) + p^{k-1}T(p^{n-1})\)
且
进一步我们可以把\(T(n)\)作用的结果展开得到
\[T(n) f(z) = \sum_{m\in \mathbb{Z}}\gamma(m)q^m其中\gamma(m) = \sum_{a|(m,n), a \geq 1}a^{k-1} c(mn/a^2) \]Hecke算子的特征函数与特征值
Hecke算子一个重要的问题是它的特征函数与特征值，即求解下式的\(f\)和\(\lambda(n)\)
\[T(n)f = \lambda(n)f \]它的特征函数\(f\)并不唯一，我们可以证明Eisenstein级数\(G_k\)与模判别式\(\Delta\)都是\(T(n)\)的特征函数。我们知道，满足\((\Gamma':\Gamma) = p\)的子格\(\Gamma'\)总共有\(p+1\)个。考虑\(\gamma \in \Gamma\)，有以下两种情况
- 如果\(\gamma \not \in p\Gamma\)，则\(\gamma\)只属于一个\(\Gamma'\)。
- 如果\(\gamma \in p\Gamma\)，则\(\gamma\)属于每个\(\Gamma'\)。
因此，
\[T(p)G_k(\Gamma) = \sum_{(\Gamma':\Gamma) = p}\sum_{\gamma\in \Gamma'} \frac{1}{\gamma^k} = \sum_{\gamma \in \Gamma} \frac{1}{\gamma^k} + p\sum_{\gamma\in p\Gamma} \frac{1}{\gamma^k} = (1 + p^{1-k})G_k(\Gamma) \]从而\(G_k\)是特征函数，因而\(\Delta\)也是特征函数。
有了特征函数后，我们就可以来求特征值。设模形式
\[f(z) = \sum_{n=0}^\infty c(n)q^n \]是\(T(n)\)的特征函数，且归一化使\(c(1) = 1\)，则\(\lambda(n) = c(n)\)对\(n>1\)成立。
事实上，\(\gamma(1) = c(n) = \lambda(n)c(1)\)因此成立。因而我们也能得出\(c(n)\)的性质：
- 如果\((m,n) = 1\) ，那么\(c(m)c(n) = c(mn)\)
- 如果\(p\)是素数，那么\(c(p) c(p^n) = c(p^{n+1}) + p^{k-1}c(p^{n-1})\)