DZY Love Math 系列

[BOZJ3309] DZY Loves Math

顺着套路就能得到：\(Ans = \sum_{T=1}\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{d|T} f(d) \mu(\frac{T}{d})\)。
问题变为求\(\sum_{d|T} f(d) \mu(\frac{T}{d})\)。
你可以见这里。
你还可以见这里。
然而我就是要再写一遍你管我QwQ......
设\(T = \prod_{i=1}^K p_i^{a_i}\)，\(d = \prod_{i=1}^Kp_i^{b_i}\)，显然有\(a_i\ge b_i\)，看到\(\mu\)显然\(|a_i-b_i|\leq 1\)才有意义。
若存在\(a_i>a_j\)，则\(b_i\ge b_j\)，所以\(b_j\)可以操控符号，即\(f(d) = 0\)。
否则说明\(a_1=a_2...=a_K\)，显然只有当\(b_i=a_i-1\)对所有\(i\)都成立时，\(f\)的绝对值大小不一样。
所以\(f(d) = (-1)^{K+1}\)，记一下最小质因子和每个数包含的不同质因子数，然后就能线性筛\(f\)了。

[BZOJ3462] DZY Loves Math II

把可用质数\(p\)弄出来，不同的\(p\)不会超过\(7\)个，那么就是求\(\sum_{i=1}^K c_i p_i = n\)的合法\(c_i\)组的个数。
由于\(p_i|S\)，所以把方案按照\(c_i\% \frac{S}{p_i}\)后的结果分组，然后背包处理\((S-1)(K+1)\)以内的答案。
每次枚举模后方案的答案\(tS + n\% S\)，然后设还需要\(x\)个\(S\)，插板分配到\(K\)个质数中即可。

[BZOJ3481] DZY Loves Math III

用扩欧那套理论可得：\(Ans = \sum_{x=1}^{P} gcd(x,P) [gcd(x,P)|Q]\)
枚举\(d = gcd(x,P)\)，\(Ans = \sum_{d|P,d|Q} d\varphi(\frac{P}{d})\)。
令\(Q' = gcd(P,Q)\)，\(Ans = \sum_{d|P} d[d|Q']\varphi(\frac{P}{d}) = \sum_{d|Q'} d\varphi(\frac{P}{d})\)。
被小胖坑过的童鞋应该都能立刻反应过来这是狄利克雷卷积，只要算每个质因子的答案即可。
枚举一个质因子\(p\)，设\(P\)中有\(a\)个，\(Q'\)中有\(b\)个。
若\(a > b\)，\(ans(p) = (b + 1)(p-1)p^{a-1}\)，若\(a=b\)，\(ans(p) = b(p-1)p^{a-1} + p^a\)。
大数分解质因数用一下\(Miller-Rabin\)和\(Pollard-Rho\)就行了。

[BZOJ3512] DZY Loves Math IV

枚举一个\(n\)，然后要算\(S(n,m) = \sum_{i=1}^m \varphi(in)\)。
令\(d = gcd(i,n)\)。
顺着套路展开：\(S(n,m) = \sum_{i=1}^m \varphi(i)\varphi(\frac{n}{d})d = \sum_{i=1}^m \varphi(i) \varphi(\frac{n}{d}) \sum_{e|d} \varphi(e)\)。
后面两个玩意合并不了，不过很好解决。
我们设\(n'y = n\)，其中\(n'\)为\(n\)的每个质因子各取一个构成的数，\(d' = gcd(i,n')\)。
\(S(n,m) = y\sum_{i=1}^m \varphi(i) \varphi(\frac{n'}{d'})\sum_{e|d'}\varphi(e)\)。
那么此时有\(\frac{n'}{d'} \perp e\)，
\(S(n,m) = y\sum_{i=1}^m \varphi(i) \sum_{e|d'}\varphi(\frac{n'}{e}) = y\sum_{i=1}^m \varphi(i) \sum_{e|n',e|i} \varphi(\frac{n'}{e})\)。
\(S(n,m) = y\sum_{e|n'} \varphi(\frac{n'}{e}) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{e} \rfloor} \varphi(ie) = y\sum_{e|n'} \varphi(\frac{n'}{e})S(e,\lfloor \frac{m}{e} \rfloor)\)。
递归做，\(n = 1\)时杜教筛求\(\varphi\)前缀和即可。

[BZOJ3560] DZY Loves Math V

明摆着是叫你算每一个质因子的贡献，然后把它们都乘起来。
考虑欧拉函数\(\varphi(p^t) = (p-1) p^{t-1}\)。
所以每一个质因子的贡献为\((\prod_{i=1}^n (\sum_{j=0}^{c_i} p^j) - 1) (p-1) + 1\)，乘起来就行了。

[BZOJ3561] DZY Loves Math VI

顺着套路推(设\(n\leq m\))，可以得到：
\(Ans = \sum_{T=1}^{n} (\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor} i)(\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{T} \rfloor} j) \sum_{e|T} (\frac{T}{e})^{\frac{T}{e}} \mu(e) e^{2(\frac{T}{e})}\)，暴力算即可。