题目描述
如题，给定一个范围N，你需要处理M个某数字是否为质数的询问（每个数字均在范围1-N内）
输入格式
第一行包含两个正整数N、M，分别表示查询的范围和查询的个数。
接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数，即询问该数是否为质数。
输出格式
输出包含M行，每行为Yes或No，即依次为每一个询问的结果。
当然这是一道很裸的板子题，但是却牵扯到了一个非常有用的东西：
素数筛法
首先，我们知道素数筛法主要就是以下几种
第一：
无脑筛
其实就是从2到n遍历一遍，没什么可讲的，顶多把n优化成sqrt(N)，所是这种算法的时间复杂度就是O(sqrt(N))不可否定的是，这是已知判断单一数的最快而且是最精准的方法了，绝对不会出错
第二：
Miller-rabin素性测试
如果n为素数，取a<n，设n-1=d*2r,则要么ad≡1（mod n）要么存在0<=i<r,使得ad*2^t≡-1(mod n)，要么存在0<=i<r，使得ad*2^t≡-1(mod n)(有可能都满足)
对于任意一个a，如果满足这两个条件，n有可能是质数，但a如果不满足这两个条件中的任何一个，它一定不是质数。找k个a，如果都满足这两个条件，k-1个“更”有可能是质数
在选取k的时候，最好选取2,3,5,7,13,29,37,89至少保证int范围内不会出错
因为筛法的不确定性来自于随机的a，但是当选取的数足够好，就没有问题；
如果n是素数，取a<n,舍n-1=d*2r,则要么ad≡1(mod n),要么存在0<=i<r，使得a
部分代码：
int gg[]={,,,,,,,};
long long kuaisumi(long long a,long long b1,long long c)
{
long long i=a;
while(b1)
{
if(b1&)
{
s=(s*i)%c;
}
i=(i*i)%c;
b1>>=;
}
return s%c;
}
bool miller_rabin(int a,int n)
{
int d=n-,r=;
while(d%==)
d/=,r++;
int x=kuaisumi(a,d,n);
if(x==)return true;
for(int i=;i<r;i++)
{
if(x==n-)return true ;
x=(long long )x*x%n;
}
return false;//可以对照素性测试看
}
bool is_prime (int n)
{
if(n<=)return false ;
for(int a=;a<;a++)
if(n==gg[a])return true;//一个个试
for(int a=;a<;a++)
if(!miller_rabin(gg[a],n))return false;
return true;
}
现在我们讲一下筛某一个范围的数的方法，
第三：
埃拉托色尼筛法（埃氏筛）
主要思想就是把所有质数的整倍数筛掉，速度比较快，也不难想，时间复杂度o（nloglogn）
代码实现：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{ int i,j,k;
int a[];
for(i=;i<=;i++) a[i]=i;
a[]=; //先挖掉a[1] for(i=;i<sqrt();i++){
for(j=i+;j<=;j++){
if(a[i]!=&&a[j]!=){
if(a[j]%a[i]==){
a[j]=; //把非素数挖掉,不是素数的都赋值为0
}
}
}
}
printf("\n");
for(i=,k=;i<=;i++){
if(a[i]!=){ //选出值不为0的数 即素数
//cout<<" "<<a[i];
printf("%d ",a[i]);
k++;
} if(k==){
printf("\n");
k=;
}
}
printf("\n"); return ;
}
还有一个是对埃氏筛的优化，叫做欧拉筛，也叫作线性筛
代码实现：
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int tot,n,b[],pri[];//b[i]存的是i是否为质数，0为质数，1为合数；pri[i]存的是第i个质数
inline void shai()
{
//b[1]=1;
for(int i=;i<=n;i++)//从2到n，因为1不是质数可以跳过,当然有的时候可能会用到b[1]，这个时候需要赋特值如上
{
if(!b[i])pri[++tot]=i;
for(int j=;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
{
b[i*pri[j]]=;
if(i%pri[j]==)break;//如果i%pri[j]==0,就说明是i的倍数的数一定是某质数的倍数，这个时候就可以把它去掉从而节省时间
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
shai();
for(int i=;i<=tot;i++)
{
cout<<pri[i]<<endl;//这里是输出n以内的质数，如果想判断一个数是否为质数可以看b[i]
}
}
所有的筛法就讲完了，最后我们贴一下AC代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int tot,n,m,b[],pri[],a[];
inline void shai()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(!b[i])pri[++tot]=i;
for(int j=;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
{
b[i*pri[j]]=;
if(i%pri[j]==)break;
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
shai();
for(int i=;i<=m;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=;i<=m;i++)
{
if(a[i]==)
{
cout<<"No"<<endl;
}
else
{
if(b[a[i]]==)
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout<<"No"<<endl;
}
}
return ;
}