目录

• 前向分步算法
• 一、前向分步算法引入
• 二、前向分步算法详解
  • 2.1 加法模型
  • 2.2 加法模型目标函数优化问题
• 三、前向分步算法流程
  • 3.1 输入
  • 3.2 输出
  • 3.3 流程

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前向分步算法

一、前向分步算法引入

假设Nick的年龄是25岁。

1. 第1棵决策树

把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为25−12=13$25-12=13$
2. 第2课决策树
1. 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和12+13=25$12+13=25$，就是Nick的真实年龄25岁
2. 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为25−12−10=3$25-12-10=3$
3. 第3课决策树

把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……
4. 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄

二、前向分步算法详解

2.1 加法模型

加法模型(additive model)一般表示为弱学习器加和

f(x)=∑t=1Tθtb(x;γt)$$f(x)=\sum _{t=1}^T{\theta }_{t}b(x;{\gamma }_t)$$

其中b(x;γt)$b(x;{\gamma }_t)$为弱学习器，γt${\gamma }_t$为弱学习器的参数，θt${\theta }_t$为弱学习器的系数。

2.2 加法模型目标函数优化问题

给定训练数据以及目标函数L(y,f(x))$L(y,f(x))$，加法模型的经验风险最小化问题既可以变为目标函数最小化问题

minθt,γt∑i=1mL(yi,∑t=1Tθtb(xi;γt))$$\underset{{\theta }_t,{\gamma }_t}{\underbrace{min}}\sum _{i=1}^{m}L(y_i,\sum _{t=1}^T{\theta }_{t}b(x_i;{\gamma }_t))$$

上述加法模型的目标函数优化问题是一个很复杂的优化问题，但是通过前向分布算法(forward stagewise algorithm)可以解决这一问题，它的思想是：因为学习问题是加法模型，所以每一步只学习一个弱学习器及其系数，然后逐步逼近优化目标函数，也就是说，每一步只需要优化如下所示的目标函数

minθ,γ∑i=1mL(yi,θb(xi;γ))$$\underset{\theta ,\gamma }{\underbrace{min}}\sum _{i=1}^{m}L(y_i,\theta b(x_i;\gamma ))$$

三、前向分步算法流程

3.1 输入

有m$m$个数据n$n$个特征的训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xm,ym)}$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_m,y_m)\}$；目标函数L(y,f(x))$L(y,f(x))$；弱学习模型集{b(x;γt)},(t=1,2,⋯,T)$\{b(x;{\gamma }_t)\},(t=1,2,\cdots ,T)$，在Boosting算法中T$T$相当于弱学习器的个数。

3.2 输出

加法模型f(x)$f(x)$。

3.3 流程

1. 初始化f0(x)=0$f_0(x)=0$
2. 对t=1,2,⋯,T$t=1,2,\cdots ,T$
   1. 极小化目标函数
   (θt,γt)=argminθ,γ∑i=1mL(yi,ft−1(xi)+θb(xi;γ))$$({\theta }_t,{\gamma }_t)=\underset{\theta ,\gamma }{\underbrace{argmin}}\sum _{i=1}^{m}L(y_i,f_{t-1}(x_i)+\theta b(x_i;\gamma ))$$
   得到参数θt,γt${\theta }_t,{\gamma }_t$
   2. 更新
   ft(x)=ft−1(x)+θtb(x;γt)$$f_t(x)=f_{t-1}(x)+{\theta }_{t}b(x;{\gamma }_t)$$

3. 得到加法模型

f(x)=fT(x)=∑t=1Tθtb(x;γt)$$f(x)=f_T(x)=\sum _{t=1}^T{\theta }_{t}b(x;{\gamma }_t)$$