采样方法(一)

引言:最近开始拾起来看一些NLP相关的东西,特别是深度学习在NLP上的应用,发现采样方法在很多模型中应用得很多,因为训练的时候如果预测目标是一个词,直接的softmax计算量会根据单词数量的增长而增长。恰好想到最开始深度学习在DBN的时候采样也发挥了关键的作用,而自己对采样相关的方法了解不算太多,所以去学习记录一下,经典的统计的方法确实巧妙,看起来非常有收获。
本篇文章先主要介绍一下经典的采样方法如Inverse Sampling、Rejective Sampling以及Importance Sampling和它在NLP上的应用,后面还会有一篇来尝试介绍MCMC这一组狂炫酷拽的算法。才疏学浅,行文若有误望指正。

采样方法(一)


Why Sampling
采样是生活和机器学习算法中都会经常用到的技术,一般来说采样的目的是评估一个函数在某个分布上的期望值,也就是

采样方法(一)

比如我们都学过的抛硬币,期望它的结果是符合一个伯努利分布的,定义正面的概率为p,反面概率为1−p。最简单地使f(x)=x,在现实中我们就会通过不断地进行抛硬币这个动作,来评估这个概率p。

采样方法(一)

这个方法也叫做蒙特卡洛法(Monte Carlo Method),常用于计算一些非常复杂无法直接求解的函数期望。
对于抛硬币这个例子来说:

采样方法(一)


其期望就是抛到正面的计数cntu除以总次数m。
而我们抛硬币的这个过程其实就是采样,如果要用程序模拟上面这个过程也很简单,因为伯努利分布的样本很容易生成:

采样方法(一)


而在计算机中的随机函数一般就是生成0到1的均匀分布随机数。
Sampling Method
可以看到蒙特卡洛法其实就是按一定的概率分布中获取大量样本,用于计算函数在样本的概率分布上的期望。其中最关键的一个步骤就是如何按照指定的概率分布p进行样本采样,抛硬币这个case里伯努利分布是一个离散的概率分布,它的概率分布一般用概率质量函数(pmf)表示,相对来说比较简单,而对于连续概率分布我们需要考虑它的概率密度函数(pdf):

采样方法(一)

比如上图示例分别是标准正态分布概率密度函数,它们的面积都是1(这是概率的定义),如果我们可以按照相应概率分布生成很多样本,那这些样本绘制出来的直方图应该跟概率密度函数是一致的。
而在实际的问题中,p的概率密度函数可能会比较复杂,我们由浅入深,看看如何采样方法如何获得服从指定概率分布的样本。

**Inverse Sampling
**
对于一些特殊的概率分布函数,比如指数分布:

采样方法(一)

我们可以定义它的概率累积函数(Cumulative distribution function),也就是(ps.这个’F’和前面的’f’函数并没有关系)

采样方法(一)

从图像上看就是概率密度函数小于x部分的面积。这个函数在x≥0的部分是一个单调递增的函数(在定义域上单调非减),定义域和值域是[0,+∞)→[0,1),画出来大概是这样子的一个函数,在p(x)大的地方它增长快(梯度大),反之亦然:

采样方法(一)

因为它是唯一映射的(在>0的部分,接下来我们只考虑这一部分),所以它的反函数可以表示为F−1(a),a∈[0,1),值域为[0,+∞)
因为F单调递增,所以F−1也是单调递增的:

采样方法(一)

利用反函数的定义,我们有:

采样方法(一)


我们定义一下[0,1]均匀分布的CDF,这个很好理解:

采样方法(一)


所以

采样方法(一)


根据F(x)的定义,它是exp分布的概率累积函数,所以上面这个公式的意思是F−1(a)符合exp分布,我们通过F的反函数将一个0到1均匀分布的随机数转换成了符合exp分布的随机数,注意,以上推导对于cdf可逆的分布都是一样的,对于exp来说,它的反函数的形式是:

采样方法(一)

具体的映射关系可以看下图(a),我们从y轴0-1的均匀分布样本(绿色)映射得到了服从指数分布的样本(红色)。

采样方法(一)


我们写一点代码来看看效果,最后绘制出来的直方图可以看出来就是exp分布的图,见上图(b),可以看到随着采样数量的变多,概率直方图和真实的CDF就越接近:
def sampleExp(Lambda = 2,maxCnt = 50000):
    ys = []
    standardXaxis = []
    standardExp = []
    for i in range(maxCnt):
        u = np.random.random()
        y = -1/Lambda*np.log(1-u) #F-1(X)
        ys.append(y)
    for i in range(1000):
        t = Lambda * np.exp(-Lambda*i/100)
        standardXaxis.append(i/100)
        standardExp.append(t)
    plt.plot(standardXaxis,standardExp,'r')
    plt.hist(ys,1000,normed=True)
    plt.show()

Rejective Sampling
我们在学习随机模拟的时候通常会讲到用采样的方法来计算π值,也就是在一个1×1的范围内随机采样一个点,如果它到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内,则接受它,最后通过接受的占比来计算1/4圆形的面积,从而根据公式反算出预估的π值,随着采样点的增多,最后的结果π^会越精准。

上面这个例子里说明一个问题,我们想求一个空间里均匀分布的集合面积,可以尝试在更大范围内按照均匀分布随机采样,如果采样点在集合中,则接受,否则拒绝。最后的接受概率就是集合在‘更大范围’的面积占比。

当我们重新回过头来看想要sample出来的样本服从某一个分布p,其实就是希望样本在其概率密度函数高的地方出现得更多,所以一个直觉的想法,我们从均匀分布随机生成一个样本xi,按照一个正比于p(xi)的概率接受这个样本,也就是说虽然是从均匀分布随机采样,但留下的样本更有可能是p(x)高的样本。

这样的思路很自然,但是否是对的呢。其实这就是Rejective Sampling的基本思想,我们先看一个很intuitive的图


采样方法(一)

假设目标分布的pdf最高点是1.5,有三个点它们的pdf值分别是

采样方法(一)


因为我们从x轴上是按均匀分布随机采样的,所以采样到三个点的概率都一样,也就是

采样方法(一)


接下来需要决定每个点的接受概率acc(xi),它应该正比于p(xi),当然因为是概率值也需要小于等于1.
我们可以画一根y=2的直线,因为整个概率密度函数都在这根直线下,我们设定

采样方法(一)


我们要做的就是生成一个0-1的随机数xi,如果它小于接受概率acc(xi),则留下这个样本。因为acc∝p,所以可以看到因为p(x1)p(x2)的3倍,所以acc(x1)=3acc(x2)。同样采集100次,最后留下来的样本数期望也是3倍。这根本就是概率分布的定义!
我们将这个过程更加形式化一点,我们我们又需要采样的概率密度函数p(x),但实际情况我们很有可能只能计算出p~(x),有p(x)=p~(x)Zp。我们需要找一个可以很方便进行采样的分布函数q(x)并使

采样方法(一)

其中c是需要选择的一个常数。然后我们从q分布中随机采样一个样本xi,并以

采样方法(一)

的概率决定是否接受这个样本。重复这个过程就是「拒绝采样」算法了。
在上面的例子我们选择的q分布是均匀分布,所以从图像上看其pdf是直线,但实际上cq(x)和p~(x)越接近,采样效率越高,因为其接受概率也越高:

采样方法(一)

Importance Sampling
上面描述了两种从另一个分布获取指定分布的采样样本的算法,对于1.在实际工作中,一般来说我们需要sample的分布都及其复杂,不太可能求解出它的反函数,但p(x)的值也许还是可以计算的。对于2.找到一个合适的cq(x)往往很困难,接受概率有可能会很低。
那我们回过头来看我们sample的目的:其实是想求得E[f(x)],x∼p,也就是

采样方法(一)

如果符合p(x)分布的样本不太好生成,我们可以引入另一个分布q(x),可以很方便地生成样本。使得


采样方法(一)


我们将问题转化为了求g(x)在q(x)分布下的期望!!!
我们称其中的w(x)=p(x)q(x) 叫做Importance Weight.

Importance Sample 解决的问题
首先当然是我们本来没办法sample from p,这个是我们看到的,IS将之转化为了从q分布进行采样;同时IS有时候还可以改进原来的sample,比如说:

采样方法(一)


可以看到如果我们直接从p进行采样,而实际上这些样本对应的f(x)都很小,采样数量有限的情况下很有可能都无法获得f(x)值较大的样本,这样评估出来的期望偏差会较大

而如果我们找到一个q分布,使得它能在f(x)∗p(x)较大的地方采集到样本,则能更好地逼近[Ef(x)],因为有Importance Weight控制其比重,所以也不会导致结果出现过大偏差。

所以选择一个好的p也能帮助你sample出来的效率更高,要使得f(x)p(x)较大的地方能被sample出来。
**
无法直接求得p(x)的情况**
上面我们假设g(x)和q(x)都可以比较方便地计算,但有些时候我们这个其实是很困难的,更常见的情况市我们能够比较方便地计算p~(x)和q~(x)

采样方法(一)

其中Zp/q是一个标准化项(常数),使得p~(x)或者p~(x)等比例变化为一个概率分布,你可以理解为softmax里面那个除数。也就是说

采样方法(一)


这种情况下我们的importance sampling是否还能应用呢?
采样方法(一)

而ZqZp我们直接计算并不太好计算,而它的倒数:

采样方法(一)


因为我们家设能很方便地从q采样,所以上式其实又被转化成了一个蒙特卡洛可解的问题,也就是

采样方法(一)


最终最终,原来的蒙特卡洛问题变成了:

采样方法(一)

所以我们完全不用知道q(x)确切的计算值,就可以近似地从中得到在q分布下f(x)的取值!!amazing!
Importance Sampling在深度学习里面的应用
在深度学习特别是NLP的Language Model中,训练的时候最后一层往往会使用softmax函数并计算相应的梯度。


采样方法(一)

而我们知道softmax函数的表达式是:

采样方法(一)


要知道在LM中m的大小是词汇的数量决定的,在一些巨大的模型里可能有几十万个词,也就意味着计算Z的代价十分巨大。
而我们在训练的时候无非是想对softmax的结果进行求导,也就是说

采样方法(一)


后面那一块,我们好像看到了熟悉的东西,没错这个形式就是为采样量身定做似的。

采样方法(一)

经典的蒙特卡洛方法就可以派上用途了,与其枚举所有的词,我们只需要从V里sample出一些样本词,就可以近似地逼近结果了。
同时直接从P中sample也不可取的,而且计算P是非常耗时的事情(因为需要计算Z),我们一般只能计算P~(y),而且直接从P中sample也不可取,所以我们选择另一个分布Q进行Importance Sample即可。

一般来说可能选择的Q分布是简单一些的n−gram模型。下面是论文中的算法伪代码,基本上是比较标准的流程(论文图片的符号和上面的描述稍有出入,理解一下过程即可):

采样方法(一)

References
【1】mathematicalmonk’s machine learning course on y2b. machine learing
【2】Pattern Recognition And Machine Learning
【3】Adaptive Importance Sampling to Accelerate Training
of a Neural Probabilistic Language Model.Yoshua Bengio and Jean-Sébastien Senécal.

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