\documentclass{article}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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\pgfplotsset{width=7cm,compat=1.16}
\begin{document}
\tableofcontents
\section{introduction}
\subsection{古典密码}
\par\indent
\subsubsection{私钥加密}
\par\indent
加密双方使用相同密钥进行加密和解密。
\par\indent
\begin{align}
    cipher &= Enc_k(message) \\
    message &= Dec_k(cipher)
\end{align}
\subsubsection{柯克霍夫原则(Kerckhoffs’ principle)}
加密方法公开，密钥私密。有如下优点
\begin{enumerate}
    \item 易于保存和修改
    \item 易于加密双方交换必要信息(密钥)
    \item 大规模使用中，加密方法公开才易于软硬件的实现
\end{enumerate}
\subsubsection{凯撒密码(Caesar’s cipher)}
\par\indent
凯撒密码是一种古老的加密方法，其本质是移位密码。通过将字母在字母表中的
顺序向后移动3位，如遇到结尾，则跳到开头，得到的新字母便为该字母对应
的密文字母，例：$d=enc_{Caesar}(a)=d$,$c=enc_{Caesar}(z)$;
$ch \in{\left\{0,...，25\right\}}$
则$enc\_ch = ch + 3 \mod 26 $,$ch \in{\left\{0,...，25\right\}}$。
\subsubsection{移位密码}
\par\indent
凯撒密码变体，$ch \in{\left\{0,...25\right\}}$，
$enc\_ch =ch + k \mod 26$,$k \in{\left\{0,..,25\right\}}$，移位密码
仅有26个密钥。
\par\indent
\subsubsection{移位密码的破解方法}
\paragraph{人工破解方法}
\par\indent
对于凯撒密码，向前移三位便可以得到明文，而对于移位密码，它的移位
可以通过穷举26个密钥得到，并且过程中需人工辅助判断来选择其中一个
有意义的作为明文消息。
\paragraph{机器破解方法}
\par\indent 
机器破解方法是因为在人类交流的语言中，各个
字母出现的频率并不相同，如下图所示：\\
\pgfplotsset{width=16cm,height=8cm}
\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    nodes near coords,   
    ybar,
    ymax=14,
    enlarge y limits={value=0.01,lower},
    enlarge x limits =0.02,
    ylabel=Percentage,
    xlabel=Letter,
    symbolic x coords={
        a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z
    },
    xtick=data,
    typeset ticklabels with strut,
    ]
    \addplot coordinates {
        (a,8.2) (b,1.5) (c,2.8) (d,4.2) 
        (e,12.7) (f,2.2) (g,2.0) (h,6.1)
        (i,7.0) (j,0.1) (k,0.8) (l,4.0) (m,2.4) (n,6.7)
        (o,7.5) (p,1.9) (q,0.1) (r,6.0) (s,6.3) (t,9.0)
        (u,2.8) (v,1.0) (w,2.4) (x,2.0) (y,0.1) (z,0.1) 
    };
    \end{axis}
\end{tikzpicture}
由于这个特性的存在，人们可以统计密文字母的出现频率来求解明文。这种
破解方法不依赖于人的判断，并且应用范围更广。

\subsubsection{仿射密码}
\begin{equation}
    enc\_ch = ch * k + b \mod 26 \qquad 且 gcd(k,26) =1;
\end{equation}
\paragraph{仿射密码的破解}
\par\indent 仿射密码可以移位密码的方法二来破解。

\subsubsection{单表代换(The mono-alphabetic substitution cipher)}
\par\indent
$y=f(x)$,$x \in{\left\{a,...,z\right\}}$, 
$y \in{\left\{a,...,z\right\}}$,其中
函数f是一个单射和满射。单表代换的密钥空间很大,
大小为$A_{26}^{26} = 26 ! \approx 2^{88}$,
这是一个非常大的秘钥空间，很难在短时间内遍历完
整个秘钥空间。上文提到的凯撒密码，移位密码及仿
射密码都属于单表代换。
\paragraph{单表代换的破解方法}
\par\indent
单表代换无法隐藏不同字母在人类语言中使用频率不同的
事实，并且无法改变$Percentage(x) =Percentage(f(x))$这一
事实，因此，上文提到的频率统计攻击方法能完全攻破单表代换加
密的密文，密钥空间再大也没用。


\subsubsection{多表代换($The\; Vigen\grave{e}re\;cipher)$}
\par\indent
多表代换也可以称作维吉利亚加密，
它能够将同一字母在不
同的位置上映射到不同的密文字母上,使得单表代
换的破解方法不再直接适合于多表代换。下表实例中
key为密钥，周期为$4$,字母${a...z}$代表将明文字母
移动${0...25}$,最后再将密文字母转换成大写就完成了
整个加密过程。
\\
\begin{tabular}{lr}
    \hline
    Plaintext:&\texttt{tellhimaboutme}\\
    Key(repeated):&\texttt{cafecafecafeca}\\
    Ciphertext:&\texttt{VEQPJIREDOZXOE}\\
    \hline  
\end{tabular}
\paragraph{多表代换的破解方法}
\par\indent
多表代换的攻击方法需要求解Key的周期，从cipher中取一个
字母\alpha ,然后找到所有\alpha 出现的位置，求相临两个
\alpha 的间距，它们的公倍数即为key的长度或key长度的整数倍
，取该公倍数为T,以T为周期，密文中的任意一个位置$t$,对所有
的$\left\{{k*T+t,k\in Z}\right\}$这些字符组成的集合具有单表代换的性质，
 可按单表代换的攻击方法进行破解。
\subsection{现代加密原则}
\subsubsection{形式化定义}
\paragraph{攻击模型}
\begin{enumerate}
    \item \textit{唯密文攻击(Ciphertext-only attack)} 
        \\攻击者只能取得密文,从密文推断原信息 
    \item \textit{己知明文攻击(Known-plaintext attack)}
    \\ 已经知道一些明文和密文来破解新的密文
    \item \textit{选择明文攻击(Chosen-plaintext attack)}
    \\ 攻击者能得到他想要的明文的密文
    \item \textit{选择密文攻击(Chosen-ciphertext attack)}
    \\ 选择一些密文来获得其原文
\end{enumerate}
\paragraph{精确假设(Precise Assumptions)}
\begin{enumerate}
    \item \textit{假设的有效性(Validation of assumptions)}
    \\假设无法证明正确，却很难被驳倒
    \item \textit{方案比较}
    \\ 比较假设来判断方法的优劣和等价性
    \item \textit{假设的必要性}
    \\ 基于假设，如果该假设命题被破解，便意味着加密方法的失效
\end{enumerate}
\paragraph{安全性证明和现实安全}
\par\indent
现代加密体系建立在严格的数学基础上，但是其仍有艺术性的一面
，仍可以构造新的数学假设，新的原始基础来发挥创造性。
\begin{comment}
\section{完善保密}

\subsection{香农}
\begin{enumerate}
    \item 评价安全体，计算安全性
    \item 混乱扩散
    \item 乘积密码*
\end{enumerate}
$P\left[x|y\right] = P\left[x\right]$\\
左边后验，右边先验
贝叶斯公式
\begin{equation}
    P[x|y] =\frac{P[y|x]P[x]}{P[y]}
\end{equation}
一次一密
\end{comment}
\end{document}