对于无向图
算法1
我们知道对于环1-2-3-4-1,每个节点的度都是2,基于此我们有如下算法(这是类似于有向图的拓扑排序):
- 求出图中所有顶点的度,
- 删除图中所有度<=1的顶点以及与该顶点相关的边,把与这些边相关的顶点的度减一
- 如果还有度<=1的顶点重复步骤2
- 最后如果还存在未被删除的顶点,则表示有环;否则没有环
时间复杂度为O(E+V),其中E、V分别为图中边和顶点的数目,这个算法我们稍后分析算法3的时候再分析。
算法2
深度优先遍历该图,如果在遍历的过程中,发现某个节点有一条边指向已经访问过的节点,并且这个已访问过的节点不是当前节点的父节点(这里的父节点表示dfs遍历顺序中的父节点),则表示存在环。但是我们不能仅仅使用一个bool数组来标志节点是否访问过。如下图
从节点1开始遍历-接着遍历2-接着遍历3,然后发现3有一条边指向遍历过的1,则存在环。但是回到1节点时,它的另一条边指向已访问过的3,又把这个环重复计算了一次。
我们按照算法导论22.3节深度优先搜索中,对每个节点分为三种状态,白、灰、黑。开始时所有节点都是白色,当开始访问某个节点时该节点变为灰色,当该节点的所有邻接点都访问完,该节点颜色变为黑色。那么我们的算法则为:如果遍历的过程中发现某个节点有一条边指向颜色为灰的节点,那么存在环。则在上面的例子中,回溯到1节点时,虽然有一条边指向已经访问过的3,但是3已经是黑色,所以环不会被重复计算。
下面的代码中visit数组的值分为0 1 2三种状态分别代表白色、灰色、黑色,调用函数dfs可以输出图中存在的所有环,图用邻接矩阵表示,如果两个节点之间没有边则对应的值为INT_MAX
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void dfsVisit(vector<vector< int > >&graph, int node, vector< int >&visit,
vector< int >&father)
{ int n = graph.size();
visit[node] = 1;
//cout<<node<<"-\n";
for ( int i = 0; i < n; i++)
if (i != node && graph[node][i] != INT_MAX)
{
if (visit[i] == 1 && i != father[node]) //找到一个环
{
int tmp = node;
cout<< "cycle: " ;
while (tmp != i)
{
cout<<tmp<< "->" ;
tmp = father[tmp];
}
cout<<tmp<<endl;
}
else if (visit[i] == 0)
{
father[i] = node;
dfsVisit(graph, i, visit, father);
}
}
visit[node] = 2;
} void dfs(vector<vector< int > >&graph)
{ int n = graph.size();
vector< int > visit(n, 0); //visit按照算法导论22.3节分为三种状态
vector< int > father(n, -1); // father[i] 记录遍历过程中i的父节点
for ( int i = 0; i < n; i++)
if (visit[i] == 0)
dfsVisit(graph, i, visit, father);
} |
算法时间复杂度也是O(E+V)
对于有向图
算法3
我们都知道对于有向图进行拓扑排序可以判断是否存在环。
对于有向图的拓扑排序,大家都知道的kahn算法:
- 计算图中所有点的入度,把入度为0的点加入栈
- 如果栈非空:
取出栈顶顶点a,输出该顶点值,删除该顶点
从图中删除所有以a为起始点的边,如果删除的边的另一个顶点入度为0,则把它入栈
- 如果图中还存在顶点,则表示图中存在环;否则输出的顶点就是一个拓扑排序序列
如果利用上面的拓扑排序算法求环,可以判断是否有环,但是输出环时有点麻烦。因为并不是所有最后剩余的点都是环中的顶点,比如如下情况:
对这个图运行上面的算法,最后所有的节点都不会被删除,但是只有1 2 3是环中的点,4不是环中的节点。
对于上面的算法1,和算法3的思想是一样的,所以也会存在这个问题。
算法4
其实算法2可以原封不动的搬来就可以检测并且输出所有有向图中的环 本文地址
算法5
根据有向图的强连通分量算法,每个强连通分量中必定存在环,因为根据强连通分量的定义:从顶点 i 到 j 有一条路径,并且从 j 到 i 也有一条路径。求强连通分量的算法可以参考*here
补充:利用dfs来拓扑排序
只要对算法2稍微改动就可以输出有向图的拓扑排序结果,即按照节点标记为黑色的时间,越先标记为黑色,在拓扑序列中越靠后。我们在算法2的基础上加了一个栈来保存拓扑排序的结果,只有dfsVisit的最后一行有改动,该算法,可以完成拓扑排序,并且同时可以检测图中是否有环。(该算法思想和算法导论22.4节拓扑排序一样)
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stack< int > tuopu;
void dfsVisit(vector<vector< int > >&graph, int node, vector< int >&visit,
vector< int >&father)
{ int n = graph.size();
visit[node] = 1;
//cout<<node<<"-\n";
for ( int i = 0; i < n; i++)
if (i != node && graph[node][i] != INT_MAX)
{
if (visit[i] == 1 && i != father[node]) //找到一个环
{
int tmp = node;
cout<< "cycle: " ;
while (tmp != i)
{
cout<<tmp<< "->" ;
tmp = father[tmp];
}
cout<<tmp<<endl;
}
else if (visit[i] == 0)
{
father[i] = node;
dfsVisit(graph, i, visit, father);
}
}
visit[node] = 2;
tuopu.push(node);
} void dfs(vector<vector< int > >&graph)
{ int n = graph.size();
vector< int > visit(n, 0); //visit按照算法导论22.3节分为三种状态
vector< int > father(n, -1); // father[i] 记录遍历过程中i的父节点
for ( int i = 0; i < n; i++)
if (visit[i] == 0)
dfsVisit(graph, i, visit, father);
} |