本节书摘来自异步社区《精通Matlab数字图像处理与识别》一书中的第6章，第6.8节，作者 张铮 , 倪红霞 , 苑春苗 , 杨立红，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看

6.8 频域滤波器与空域滤波器之间的内在联系

精通Matlab数字图像处理与识别
在6.4.1小节我们曾探讨了频域滤波与空域滤波之间的关系。这里则要更进一步，来研究频域滤波器与空域滤波器之间的内在联系。

频域滤波较空域而言更为直观，频域下滤波器表达了一系列空域处理（平滑、锐化等）的本质，即对高于/低于某一特定频率的灰度变化信息予以滤除，而对其他的灰度变化信息基本保持不变。这种直观性增加了频域滤波器设计的合理性，使得我们更容易设计出针对特定问题的频域滤波器，就如在6.7节中我们利用了带阻滤波器实现了对图像中周期噪声的滤除，而想直接在空域中设计出一个能够完成如此滤波任务的滤波器（卷积模板）是相当困难的。

为了得到合适的空域滤波器，我们很自然地想到可以首先设计频域滤波器H(u, v)，而后根据卷积定理式（6-61)，将H(u, v)反变换至空域后就得到了空域中滤波使用的卷积模板h(x, y)，从而解决了空域滤波器的设计难题。

然而，直接反变换得到的空域卷积模板h(x, y)同 H(u, v)等大，从而与图像f(x, y)具有相同的尺寸。而模板操作十分耗时，要计算这样大的模板与图像的卷积将是非常低效的。在第3章中我们使用的都是很小的模板（如3×3, 5×5, 7×7等），因为这样的模板在空域中才具有滤波效率上的优势。一般来说，如果空域模板中的非零元素数目小于132（大约13×13见方），则直接在空域中计算卷积较为划算，否则直接利用H(u, v)在频域下滤波更为合适。

在实际中我们发现，利用以全尺寸的空域滤波器h(x, y)为指导设计出的形状与之类似的小空域卷积模板，同样可以取得类似于频域滤波器H(u, v)的滤波效果。这就为从频域出发，最终设计出具有实用价值的空域模板提供了一种完美的解决方案。

式（6-52）给出的高斯频域低通滤波器H(u)及与其构成傅立叶变换对儿的空域高斯模板h(x)正好印证了上述结论。从图6.19上来看，H(u)越窄，h(x)就越宽。而频域低通滤波器H(u)越窄，说明能够通过的频率越低，被截断的高频成份也就越多，从而使滤波处理后原函数f(x)变得平滑；而空域下以越宽的模板h(x)与函数f(x)卷积则同样会产生平滑的效果。再进一步以h(x)的形状为指导，就可以得到曾在高斯平滑中使用的高斯模板式（5-5）。

附 录

Ⅰ.傅立叶级数的收敛性

傅立叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下。

（1）在任何周期内，x(t)须绝对可积。

（2）在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值。

（3）在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

Ⅱ.傅立叶级数的三角形式和复指数形式的转换

利用欧拉公式

为求得系数c n，将式(6-2)代入式(6-63)，得

即傅立叶系数的复数形式。

式中: u表示f(x)的频率，即