Description

小 A 和小 B 正在玩一个游戏：有一棵包含 $n=2m$ 个点的有根树（点从 $1\sim n$ 编号），它的根是 $1$ 号点，初始时两人各拥有 $m$ 个点。游戏的每个回合两人都需要选出一个自己拥有且之前未被选过的点，若对手的点在自己的点的子树内，则该回合自己获胜；若自己的点在对方的点的子树内，该回合自己失败；其他情况视为平局。游戏共进行 $m$ 回合。

作为旁观者的你只想知道，在他们随机选点的情况下，第一次非平局回合出现时的回合数的期望值。

为了计算这个期望，你决定对于 $k=0,1,2,\cdots,m$，计算出非平局回合数为 $k$ 的情况数。两种情况不同当且仅当存在一个小 A 拥有的点 $x$，小 B 在 $x$ 被小 A 选择的那个回合所选择的点不同。

由于情况总数可能很大，你只需要输出答案对 $998244353$ 取模后的结果。

Solution

设$f_i$表示钦定有$i$对父子关系，其余的任意选择的方案数，$g_i$为刚好有$i$对父子关系的方案数

那么有$$f_i =\sum_{j=1}^m g_j \binom{j}{i}$$

由二项式反演得

$$g_i = \sum_{j=i}^m (-1)^{j-i} \binom{j}{i} f_j$$

题中所求为$g$，所以求得$f$即可

$f$可以用树上背包求得，背包得到的结果需要再乘上$(m-i)!$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,head[5005],tot,siz[5005][2],s[5005],m;
long long dp[5005][5005],temp[5005],fac[5005]={1},inv[5005];
char str[5005];
const long long mod=998244353;
struct Edge
{
    int to,nxt;
}edge[10005];
inline int read()
{
    int w=0,f=1;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w*f;
}
long long ksm(long long a,long long p)
{
    long long ret=1;
    while(p)
    {
        if(p&1) (ret*=a)%=mod;
        (a*=a)%=mod,p>>=1;
    }
    return ret;
}
long long C(int x,int y)
{
    if(y>x||x<0||y<0) return 0;
    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
void dfs(int k,int f)
{
    if(str[k]=='1') siz[k][1]=1;
    else siz[k][0]=1;
    s[k]=1;
    dp[k][0]=1;
    for(int i=head[k];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v!=f)
        {
            dfs(v,k),memset(temp,0,sizeof(temp));
            for(int x=0;x<=min(siz[k][0],siz[k][1]);x++) for(int y=0;y<=min(siz[v][0],siz[v][1]);y++) (temp[x+y]+=dp[k][x]*dp[v][y]%mod)%=mod;
            siz[k][0]+=siz[v][0],siz[k][1]+=siz[v][1],s[k]+=s[v];
            for(int x=0;x<=min(siz[k][0],siz[k][1]);x++) dp[k][x]=temp[x];
        }
    }
    if(str[k]=='1') for(int i=siz[k][0]-1;~i;i--) (dp[k][i+1]+=dp[k][i]*1ll*(siz[k][0]-i)%mod)%=mod;
    else for(int i=siz[k][1]-1;~i;i--) (dp[k][i+1]+=dp[k][i]*1ll*(siz[k][1]-i)%mod)%=mod;
}
int main()
{
    n=read(),m=n>>1,scanf("%s",str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;~i;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        edge[++tot]=(Edge){v,head[u]},head[u]=tot,edge[++tot]=(Edge){u,head[v]},head[v]=tot;
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=0;i<=m;i++) (dp[1][i]*=fac[m-i])%=mod;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        long long g=0;
        for(int j=i;j<=m;j++)
            if((j-i)&1) ((g-=C(j,i)*dp[1][j]%mod)+=mod)%=mod;
            else (g+=C(j,i)*dp[1][j]%mod)%=mod;
        printf("%lld\n",g);
    }
    return 0;
}

[NOI Online #2 提高组] 游戏