第2章
大规模天线理论
2.3.3 非理想互易性对 Massive MIMO 容量的影响
2.3.4 Massive MIMO 的系统性能分析
1．系统级频谱效率分析
系统级频谱效率是工业界评估蜂窝移动通信系统的一个重要指标，工业界 通常采用非常复杂耗时的系统级仿真得到。近年来，为了能够从理论上得到系统级频谱效率与系统参数的关系，学术界进行了大量的探索研究。
系统级频谱效率的研究主要采用以下两种方法。一种是采用随机几何模型，其代表性论文是文献[24]。文献[24]的主要思想是，根据接收机的信干噪比， 通过香农公式得到频谱效率，然后假设基站站点部署服从泊松分布，进而得到系统的频谱效率。然而，泊松分布得到的系统级频谱效率的闭合表达式较复杂， 很难直观地给出系统频谱效率与系统参数的关系。另外，考虑非理想信道信息 时（特别是考虑存在导频污染时），由于信干噪比的表达式较复杂，关于系统 级频谱效率的分析仍然少见。
另一种系统级频谱效率的分析方法是，假设基站位置固定已知，用户在小 区内均匀分布，根据信道容量对用户位置取期望，得到系统级频谱效率。文献 [25]早推导出分布式天线系统和集中式天线系统的系统级频谱效率的闭合表 达式。文献[26]进一步推导出接入点分布在圆上时，分布式天线系统的平均频 谱效率。在非理想信道信息下，文献[27]推导出导频复用时，多小区多用户大 规模天线系统的平均频谱效率的近似闭合表达式。
根据 2.2.2 节中的式（2-6）可知，容量与用户的大尺度信息有关，这里仅 考虑用户位置信息。为了简化描述，以小区 1 为观测小区，并假设 ,, l k l k cd αλ −= ， 其中 ,lk d 为第 l 个小区的第 k 个用户到小区 1 基站的距离，α 为路径损耗指数。 重新把式（2-6）表示为
考虑到大规模天线系统中，同时同频服务的用户数也较多，根据大数定理， 可以把 C 近似为
其中，ε 近似为
根据文献[18]
进一步近似得到
根据文献[27]可得到 φ2(d1)、 φ1(d1)、φ1(d)、φ2(d)的闭合近似表达式，它们仅与小区半径和路径损耗因子有关。定义单位面积上的频谱效率为
2．系统级参数优化
从上面的分析可以看出，考虑导频开销，大规模天线的频谱效率并不是随 K 的增大而增大。因为，随着 K 的增大，导频开销也线性增加。因此，给定相 干时间，会有一个系统支持的优用户数。根据式（2-17），通过搜索，可以 得到优用户数。特别是，在低信噪比区域，根据等价无穷小 ASE（Area Energy Efficiency）可近似为
另外，通过式（2-17），还可以研究频谱效率达到大时的导频数据功率 比。在符号时间 T 内，用户传输所有导频符号所需的能量为 KP，传输数据消 耗的能量为() D T K P − 。考虑实际通信系统，每个用户的发送功率都会受到一个 大值的限制，记为 max P ，则
给定用户数 K、基站天线数 M、相干时间 T 以及
γ ，由式（2-17）可得以
下优化问题[27]
可以证明，上述目标函数为凸函数，因此 KKT（Karush–Kuhn–Tucker）条 件是该优化问题的充要条件。根据拉格朗日乘子法可以得到优的导频功率和 数据功率，进而得到优导频数据功率比β。
可以发现，它与天线数无关。
3．系统级能耗效率分析
定义 AEE（Area Energy Efficiency）［bit/(J·Hz·km2)］为 ASE 与功耗的比 值，导频总发送功率为 2KP，数据发送能量为 ( ) D K T K P − ，那么上行用户侧总 发送功率为
总功率消耗为
根据能量效率的定义，AEE 的表达式为，
其中 B 为系统带宽。
根据能量效率的表达式，可以分析能量效率优的系统级参数优化。从能量效率的定义可以看到，天线数量 M 同时影响频谱效率和系统的能量消耗。推导优天线数的闭式有一定难度，但是，可以通过研究能量效率关于天线数的函数性质。
文献[27]证明，当给定 RSNR 时，能量效率为关于基站天线数 M 的严格拟 凹函数，总存在一个全局优 M 使能量效率大，并且能量效率为关于 M 的 先递增再递减的函数。因此，优的 M 可以通过已有的解决拟凹问题的二分查找法得到。
为了研究能量效率优的导频数据功率比，可根据（2-17）得到数据功率的表达式为
其中，
给定天线数和用户数，并且在保证一定频谱效率的条件下，通过小化系 统功率求得能量效率优的导频数据功率比。将 D P 的表达式代入到 total P ，小 化系统总功耗，可以得到优的导频数据功率比。