bzoj1227 组合数学+bit

2022-05-21 23:45:57

1227: [SDOI2009]虔诚的墓主人

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Description

小W 是一片新造公墓的管理人。公墓可以看成一块N×M 的矩形，矩形的每个格点，要么种着一棵常青树，要么是一块还没有归属的墓地。当地的居民都是非常虔诚的基督徒，他们愿意提前为自己找一块合适墓地。为了体现自己对主的真诚，他们希望自己的墓地拥有着较高的虔诚度。一块墓地的虔诚度是指以这块墓地为中心的十字架的数目。一个十字架可以看成中间是墓地，墓地的正上、正下、正左、正右都有恰好k 棵常青树。小W 希望知道他所管理的这片公墓中所有墓地的虔诚度总和是多少

Input

第一行包含两个用空格分隔的正整数N 和M，表示公墓的宽和长，因此这个矩形公墓共有(N+1) ×(M+1)个格点，左下角的坐标为(0, 0)，右上角的坐标为(N, M)。第二行包含一个正整数W，表示公墓中常青树的个数。第三行起共W 行，每行包含两个用空格分隔的非负整数xi和yi，表示一棵常青树的坐标。输入保证没有两棵常青树拥有相同的坐标。最后一行包含一个正整数k，意义如题目所示。

Output

包含一个非负整数，表示这片公墓中所有墓地的虔诚度总和。为了方便起见，答案对2,147,483,648 取模。

Sample Input

5 6
13
0 2
0 3
1 2
1 3
2 0
2 1
2 4
2 5
2 6
3 2
3 3
4 3
5 2
2

Sample Output

HINT

图中，以墓地(2, 2)和(2, 3)为中心的十字架各有3个，即它们的虔诚度均为3。其他墓地的虔诚度为0。

所有数据满足1 ≤ N, M ≤ 1,000,000,000，0 ≤ xi ≤ N，0 ≤ yi ≤ M，1 ≤ W ≤ 100,000， 1 ≤ k ≤ 10。存在50%的数据，满足1 ≤ k ≤ 2。存在25%的数据，满足1 ≤ W ≤ 10000。

注意：”恰好有k颗树“，这里的恰好不是有且只有，而是从>=k的树中恰好选k棵

首先要离散坐标由于如果一个点正上下左右都没有其他点，那么他是肯定不会贡献答案的，所以只用记录所有点的横纵坐标，重新构成坐标系统计答案

l[]表示它同行左边的点个个数，r[]表示右边，u[]表示同列上面的点的个数，d表示同列下面的点数 c[]表示组合数

对于纵坐标相同且横坐标相邻的两点设为a，b，那么他们中间的一段无点的区间可以贡献的答案就是c[l[a]][k]*c[r[b]][k]*sigma(c[u[i]][k]*c[d[i]][k]) (a<i<b)

对于中间那一段，可以用bit动态统计。bit下标为横坐标，表示在当前列横坐标为x选择的方案数，用num统计当前列横坐标为x正下方的点数方便转移

当新扫描到一个点，这个点就会对bit进行影响，num[x]++，此位置的方案数也会变化

具体要看代码实现

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

#define inf 0x3f3f3f3f

#define ll long long

#define N 1000050

#define mod 2147483648LL

using namespace std;

int n,m,w,k,num[N<<1],h[N<<1],l[N<<1],b[N<<1];

ll v[N<<1],c[N][12];

void update(int x,int val){

    while(x<=2*w){

        v[x]+=val;v[x]%=mod;

        x+=x&-x;

    }

}

ll query(int x){

    ll res=0;

    while(x){

        res+=v[x];res%=mod;

        x-=x&-x;

    }

    return res;

}

struct tree{

    int x,y;

    bool operator < (const tree &b)const{

        return y==b.y?x<b.x:y<b.y;

    }

}a[N];

void pre(){

    for(int i=0;i<=w;i++)c[i][0]=c[i][i]=1;

    for(int i=1;i<=w;i++)

    for(int j=1;j<=min(i,k);j++)

    c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;

}

int main(){

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&w);

    for(int i=1;i<=w;i++){

        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);

        b[i]=a[i].x;b[i+w]=a[i].y;

    }scanf("%d",&k);pre();

    sort(b+1,b+1+w*2);sort(a+1,a+1+w);

    int len=unique(b+1,b+1+w*2)-b-1;

    for(int i=1;i<=w;i++){

        int px=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i].x)-b;

        int py=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i].y)-b;

        h[py]++;l[px]++;

    }

    int cnt=0;ll ans=0;

    for(int i=1;i<=w;i++){

        int px=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i].x)-b;

        int py=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i].y)-b;

        int pre=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i-1].x)-b;

        if(i>1&&a[i].y==a[i-1].y){

            cnt++;

            ll t1=c[cnt][k]*c[h[py]-cnt][k];

            ll t2=query(px-1)-query(pre);

            ans+=t1*t2;ans%=mod;

        }

        else cnt=0;

        num[px]++;int t=num[px];

        int change=(c[t][k]*c[l[px]-t][k]-c[t-1][k]*c[l[px]-t+1][k])%mod;

        update(px,change);

        //printf("%lld %lld\n",change,ans);

    }

    if(ans<0)ans+=mod;cout<<ans;

    return 0;

}

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