仿射变换

平移

$\begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\tag{1}$⎝⎛​x^y^​1​⎠⎞​=⎝⎛​100​010​tx​ty​1​⎠⎞​⎝⎛​xy1​⎠⎞​(1)
若$t_x&gt;0$tx​>0,向x轴正方向移动；若$t_x&lt;0$tx​<0，向x轴负方向移动。

放大和缩小

• $(x,y)$(x,y)以(0,0)为中心缩放变换后的坐标为$(\hat{x},\hat{y})$(x^,y^​),则$(\hat{x},\hat{y})=(s_x*x,x_y*y)$(x^,y^​)=(sx​∗x,xy​∗y).
  通常令$s_x=s_y$sx​=sy​，即等比例缩放。
  $\begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_x&amp;0&amp;0\\0&amp;s_y&amp;0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\tag{2}$⎝⎛​x^y^​1​⎠⎞​=⎝⎛​sx​00​0sy​0​001​⎠⎞​⎝⎛​xy1​⎠⎞​(2)
• 若以任意一点$(x_0,y_0)$(x0​,y0​),则$(\hat{x},\hat{y})=(x_0+s_x(x-x_0),y_0+s_y(y-y_0))$(x^,y^​)=(x0​+sx​(x−x0​),y0​+sy​(y−y0​)).
  $\begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;x_0\\0&amp;1&amp;y_0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s_x&amp;0&amp;0\\0&amp;s_y&amp;0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;-x_0\\0&amp;1&amp;-y_0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\tag{3}$⎝⎛​x^y^​1​⎠⎞​=⎝⎛​100​010​x0​y0​1​⎠⎞​⎝⎛​sx​00​0sy​0​001​⎠⎞​⎝⎛​100​010​−x0​−y0​1​⎠⎞​⎝⎛​xy1​⎠⎞​(3)
  平移矩阵和缩放矩阵相乘

旋转

逆时针旋转$\alpha$α
$\begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;x_0\\0&amp;1&amp;y_0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}cos\alpha&amp;sin\alpha&amp;0\\-sin\alpha&amp;cos\alpha&amp;0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;-x_0\\0&amp;1&amp;-y_0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\tag{4}$⎝⎛​x^y^​1​⎠⎞​=⎝⎛​100​010​x0​y0​1​⎠⎞​⎝⎛​cosα−sinα0​sinαcosα0​001​⎠⎞​⎝⎛​100​010​−x0​−y0​1​⎠⎞​⎝⎛​xy1​⎠⎞​(4)
顺时针旋转$\alpha$α
$\begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;x_0\\0&amp;1&amp;y_0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}cos\alpha&amp;-sin\alpha&amp;0\\sin\alpha&amp;cos\alpha&amp;0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;-x_0\\0&amp;1&amp;-y_0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\tag{5}$⎝⎛​x^y^​1​⎠⎞​=⎝⎛​100​010​x0​y0​1​⎠⎞​⎝⎛​cosαsinα0​−sinαcosα0​001​⎠⎞​⎝⎛​100​010​−x0​−y0​1​⎠⎞​⎝⎛​xy1​⎠⎞​(5)

计算仿射矩阵A

• 方程法
  cv2.getAffineTransform(src,dst)

import cv2
import numpy as np
src = np.array([[0,0],[200,0],[0,200]],np.float32);
dst = np.array([[0,0],[100,0],[0,100]],np.float32);
A = cv2.getAffineTransform(src,dst)

• 矩阵法
  先平移后缩放

import numpy as np
s = np.array([[0.5,0,0],[0,0.5,0],[0,0,1]]); #缩放矩阵
t = np.array([[1,0,100],[0,1,200],[0,0,1]]); #平移矩阵
A=np.dot(t,s)

• 对于等比例缩放和旋转
  cv2.getRotationMatrix2D(center,angle,scale）
  center 为变换中心的坐标 ，scale为等比例缩放的系数 ，angle为逆时针旋转的角度
  如：以(40,50)为中心逆时针旋转30度，缩小0.5倍

import cv2
A=cv2.getRotationMatrix2D((40,50),30,0.5)