文章目录

• 命题1 and 推论
• 主对角线上所有的子矩阵都是方阵
• 命题2
• 命题3

命题1 and 推论

• $A_{s×n}\ne 0$As×n​̸​=0
• $B_{n×m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$Bn×m​的列向量组是β1​,β2​,...,βm​
• $AB=A(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)=(A\beta_1,A\beta_2,...,A\beta_m)$AB=A(β1​,β2​,...,βm​)=(Aβ1​,Aβ2​,...,Aβm​)
• $AB=0\Leftrightarrow \beta_1,\beta_2,...,\beta_m都是方程组AX=0的解$AB=0⇔β1​,β2​,...,βm​都是方程组AX=0的解

主对角线上所有的子矩阵都是方阵

命题2

• $A_{s×n},B_{n×m}$As×n​,Bn×m​
• $\begin{vmatrix}I_n&B\\A&I_s\end{vmatrix}=|I_s-AB|=|I_n-BA|$∣∣∣∣​In​A​BIs​​∣∣∣∣​=∣Is​−AB∣=∣In​−BA∣

命题3

• $A=\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}$A=(A1​O​A3​A2​​)
• $A_1,A_2$A1​,A2​是方阵
• $A可逆\Leftrightarrow A_1,A_2都可逆，此时有$A可逆⇔A1​,A2​都可逆，此时有 $A^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&-A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\\0&A_2^{-1}\end{pmatrix}$A−1=(A1−1​0​−A1−1​A3​A2−1​A2−1​​)