证明秩——P171 例3

2023-10-12 08:53:40

题目

$\forall A_{s×n}\Rightarrow$ ∀As×n⇒
$rank(A'A)=rank(AA')=rank(A)$ rank(A′A)=rank(AA′)=rank(A)

（我觉得这个证明很好，有代表性，给出了证明秩的两个思路：①从方程组的解空间方向思考②从矩阵的最高阶不为0的子式思考）

若 $rank(A'A)=rank(A)\Rightarrow n-rank(A'A)=n-rank(A)$ rank(A′A)=rank(A)⇒n−rank(A′A)=n−rank(A)
$\Rightarrow$ ⇒想到证明 $A'AX=0$ A′AX=0和 $AX=0$ AX=0的解空间一致
由于 $AX=0$ AX=0 $\Rightarrow A'AX=0(√)$ ⇒A′AX=0(√)
只需证明 $A'A\eta=0$ A′Aη=0 $\Rightarrow A\eta=0$ ⇒Aη=0
注意注意！骚操作来了！！让 $A'A\eta$ A′Aη左乘 $\eta'\Rightarrow$ η′⇒ $\eta'A'A\eta=0\Rightarrow (A\eta)'(A\eta)=0$ η′A′Aη=0⇒(Aη)′(Aη)=0 $\Rightarrow A\eta=0$ ⇒Aη=0
所以 $AX=0$ AX=0与 $A'AX=0$ A′AX=0同解 $\Rightarrow rank(A'A)=rank(A)\Rightarrow$ ⇒rank(A′A)=rank(A)⇒ $rank(AA')=rank((A')'A')=rank(A')=rank(A)$ rank(AA′)=rank((A′)′A′)=rank(A′)=rank(A)

令 $rank(A)=r$ rank(A)=r
由 $rank(AB)\le min\{rank(A),rank(B)\}\Rightarrow rank(AA')\le r$ rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}⇒rank(AA′)≤r
只需再证 $rank(AA')\ge r\Leftrightarrow AA'$ rank(AA′)≥r⇔AA′只有一个 $r$ r阶子式不为0
$\Rightarrow$ ⇒由Binet-cauchy公式的应用， $AA'$ AA′的 $\forall r$ ∀r阶主子式(它也是一个值哦)为 $AA'\begin{pmatrix}i_1,&i_2,&...,&i_r\\i_1,&i_2,&...,&i_r\end{pmatrix}$ AA′(i1,i1,i2,i2,...,...,irir) $=\sum\limits_{1\le v_1< v_2<...<v_r\le n}A\begin{pmatrix}i_1,&i_2,&...,&i_r\\v_1,&v_2,&...,&v_r\end{pmatrix}A'\begin{pmatrix}v_1,&v_2,&...,&v_r\\i_1,&i_2,&...,&i_r\end{pmatrix}$ =1≤v1<v2<...<vr≤n∑A(i1,v1,i2,v2,...,...,irvr)A′(v1,i1,v2,i2,...,...,vrir) $=\sum\limits_{1\le v_1< v_2<...<v_r\le n}\Big[A\begin{pmatrix}i_1,&i_2,&...,&i_r\\v_1,&v_2,&...,&v_r\end{pmatrix}\Big]^2$ =1≤v1<v2<...<vr≤n∑[A(i1,v1,i2,v2,...,...,irvr)]2
由于 $rank(A)=r\Rightarrow$ rank(A)=r⇒有一个 $r$ r阶子式 $\ne0\Rightarrow AA'$ ̸=0⇒AA′有一个 $r$ r阶子式 $\ne 0\Rightarrow rank(AA')\ge r$ ̸=0⇒rank(AA′)≥r