欧拉定理与扩展欧拉定理证明
之前一直想填这个坑来着。。
欧拉定理证明
欧拉定理：若 \((a, m) = 1\)，\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\).
证明
引理：设 \(r_1,\dots,r_{\phi(m)}\) 为模 \(m\) 的缩系，那么 \(ar_1,\dots,a_{\phi(m)}\) 也是模 \(m\) 的缩系。
证明：
首先，\(\forall k \in [1, \phi(m)]\)，\(ar_k \equiv 1 \pmod m\)
下只需证明 \(\forall i,j\in[1, \phi(m)], i\ne j\)，有 \(ar_i \not \equiv ar_j \pmod m\)：
因为 \(ar_i-ar_j = a(r_i-r_j)\)
而我们有 $(m \nmid a) $ 且 $ m\nmid(r_i-r_j)$，得证。
因此 \(\prod r_i \equiv \prod ar_i \pmod m\)，而 \((r_i, m) = 1\)，故 \(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。
扩展欧拉定理证明
扩展欧拉定理：若 \(b\geq \phi(m)\)，那么 \(a^b \equiv a^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m\)。
证明
由唯一分解定理，\(a = \prod p_i^{\alpha_i}\)，我们只需要证明对于 \(a\) 的任意一个质因数 \(p\)，都有：若 \(b\geq \phi(m)\)，那么 \(p^b \equiv p^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m\)。
而对于质数的幂次方可以用下面的方法类似证明，因此下面考虑证明：对于任意质数 \(p\)，上述结论成立。
记 \(m = sp^k\)，其中 \((s, p) = 1\)。
由欧拉定理，\(p^{\phi(s)}\equiv 1 \pmod s\)。
因为欧拉函数为积性函数，故 \(\phi(s) \mid \phi(m)\)，进而有 \(p^{\phi(m)}\equiv 1 \pmod s\)。
上式两边同乘 \(p^k\)，有 \(p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \pmod m\)。
进而 $$p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \equiv p^{k%\phi(m) + \phi(m)} \pmod m$$。
因此，对于 \(b\geq \phi(m)\)，\(p^b\equiv p^{b \% phi(m) + b}\)。