半 AFO 的 whker 了

所以每天来一道几何活动脑子

如图，\(AM=MB,CM=MD,PC\bot AC,PD\bot BD,PQ\bot AB\)，求证：\(\angle PQC=\angle PQD\)

思考：不难发现有两组四点共圆：\(D,P,Q,B\) 和 \(C,P,Q,A\)，可以考虑将圆做出来，圆心分别是 \(AP,BP\) 的中点，然后 \(M\) 又是中点，这促使我们构造中位线。

我们发现 \(O_1M=O_2P,O_1P=O_2M\)，这驱使我们把半径做出来：

然后就可以得到一组全等三角形：\(\triangle CO_1M \cong \triangle MO_2D \ (S.S.S.)\)，这时得到 \(\angle CO_1M=\angle MO_2D\)，因为四边形 \(PO_1QO_2\) 是平行四边形（两组对边分别平行），所以 \(\angle CO_1P = \angle DO_2P\)，所以 \(\angle CAO_1 = \angle DBO_2\)，所以 \(\angle CQP=\angle DQP\)（同弧所对圆周角相等）。

总的来说，这题还是不错的，至少对于我这样一位中考生来说（然而这好像是 MO 题？），对我的几何能力有很大挑战，不过还是想嘲讽一下就这