使用弹性方法的 BP 网络学习改进算法详解

2024-11-20 07:02:45

使用弹性方法的 BP 网络学习改进算法详解

一、引言

BP（Back Propagation）神经网络在机器学习和人工智能领域有着广泛的应用。然而，传统的 BP 算法在训练过程中存在一些问题，例如对学习率的敏感度过高，容易导致训练过程不稳定或收敛速度慢等。为了克服这些问题，研究人员提出了多种改进算法，其中使用弹性方法的 BP 网络学习改进算法表现出了良好的性能。本文将详细介绍这种改进算法的原理、实现步骤，并通过代码示例来深入理解其工作方式。

二、传统 BP 网络学习算法的局限性

（一）学习率问题

  1. 收敛速度与学习率的关系
    在传统 BP 算法中，学习率是一个关键参数。如果学习率设置得过大，在训练过程中可能会导致权重更新幅度过大，使得网络在误差曲面上跳过最小值点，甚至可能导致训练过程无法收敛。相反，若学习率设置得过小，权重更新缓慢，会导致收敛速度极慢，尤其是在处理复杂的、高维的数据集时，这种情况会更加明显。
  2. 对不同训练阶段的不适应性
    在训练的不同阶段，网络对学习率的需求是不同的。在训练初期，误差曲面通常较为平坦，较大的学习率有助于快速接近最优解所在的区域。但随着训练的进行，在接近最优解时，误差曲面变得更加复杂，需要较小的学习率来精确调整权重，以避免越过最小值点。然而，传统 BP 算法中的固定学习率无法满足这种动态变化的需求。

（二）局部最优问题

由于传统 BP 算法基于梯度下降法，它在训练过程中容易陷入局部最优解。在复杂的误差曲面中，局部最优解周围的梯度可能非常小，导致算法无法继续朝着全局最优解的方向更新权重。

三、弹性方法的原理

（一）基本思想

弹性方法（Resilient Backpropagation，RPROP）的核心思想是根据权重更新过程中的梯度信息来动态调整每个权重的更新步长（即学习率），而不是使用一个固定的全局学习率。这种自适应的学习率调整机制可以有效地克服传统 BP 算法中学习率固定所带来的问题。

（二）梯度相关的更新规则

  1. 符号判断
    对于每个权重 w i j w_{ij} wij​，在每次迭代中，观察其梯度的符号。如果当前梯度的符号与上一次梯度的符号相同，说明权重更新的方向是正确的，可以增加该权重的更新步长；如果梯度符号发生改变，说明上一次的更新可能已经越过了局部最优解或者走在错误的方向上，此时应该减小该权重的更新步长。
  2. 更新步长调整公式
    设权重 w i j w_{ij} wij​ 的当前更新步长为 Δ i j ( t ) \Delta_{ij}(t) Δij​(t)（其中 t t t 表示训练迭代次数），根据梯度符号变化情况，更新步长的调整公式如下：

如果 ∂ E ∂ w i j ( t ) × ∂ E ∂ w i j ( t − 1 ) > 0 \frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t)\times\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t - 1)>0 ∂wij​∂E​(t)×∂wij​∂E​(t−1)>0（梯度符号相同），则 Δ i j ( t + 1 ) = min ⁡ ( Δ i j ( t ) × η + , Δ m a x ) \Delta_{ij}(t + 1)=\min(\Delta_{ij}(t)\times\eta^{+},\Delta_{max}) Δij​(t+1)=min(Δij​(t)×η+,Δmax​)，其中 η + > 1 \eta^{+}>1 η+>1 是增加因子， Δ m a x \Delta_{max} Δmax​ 是最大更新步长限制。

如果 ∂ E ∂ w i j ( t ) × ∂ E ∂ w i j ( t − 1 ) < 0 \frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t)\times\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t - 1)<0 ∂wij​∂E​(t)×∂wij​∂E​(t−1)<0（梯度符号改变），则 Δ i j ( t + 1 ) = max ⁡ ( Δ i j ( t ) × η − , Δ m i n ) \Delta_{ij}(t + 1)=\max(\Delta_{ij}(t)\times\eta^{-},\Delta_{min}) Δij​(t+1)=max(Δij​(t)×η−,Δmin​)，其中 η − < 1 \eta^{-}<1 η−<1 是减小因子， Δ m i n \Delta_{min} Δmin​ 是最小更新步长限制。

如果 ∂ E ∂ w i j ( t ) × ∂ E ∂ w i j ( t − 1 ) = 0 \frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t)\times\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t - 1)=0 ∂wij​∂E​(t)×∂wij​∂E​(t−1)=0（梯度为零或变化很小），则 Δ i j ( t + 1 ) = Δ i j ( t ) \Delta_{ij}(t + 1)=\Delta_{ij}(t) Δij​(t+1)=Δij​(t)，即保持更新步长不变。

（三）权重更新

权重的实际更新公式为：

w i j ( t + 1 ) = w i j ( t ) − sgn ( ∂ E ∂ w i j ( t ) ) × Δ i j ( t + 1 ) w_{ij}(t + 1)=w_{ij}(t)-\text{sgn}(\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}(t))\times\Delta_{ij}(t + 1) wij​(t+1)=wij​(t)−sgn(∂wij​∂E​(t))×Δij​(t+1)

其中， sgn ( ⋅ ) \text{sgn}(\cdot) sgn(⋅) 是符号函数，根据梯度的正负确定权重更新的方向。

四、使用弹性方法的 BP 网络学习改进算法实现步骤

（一）初始化

  1. 网络结构初始化
    确定 BP 网络的输入层节点数 n n n、隐藏层节点数（可以有多个隐藏层，这里假设为 h h h）和输出层节点数 m m m。随机初始化网络的权重矩阵 W i j \mathbf{W}_{ij} Wij​（包括输入层到隐藏层、隐藏层到输出层的权重）和偏置向量 b j \mathbf{b}_{j} bj​（隐藏层和输出层的偏置）。
  2. 更新步长初始化
    为每个权重 w i j w_{ij} wij​ 初始化一个更新步长 Δ i j ( 0 ) \Delta_{ij}(0) Δij​(0)，通常设置为一个较小的正值，如 Δ i j ( 0 ) = 0.1 \Delta_{ij}(0)=0.1 Δij​(0)=0.1。同时，设置最大更新步长 Δ m a x \Delta_{max} Δmax​、最小更新步长 Δ m i n \Delta_{min} Δmin​、增加因子 η + \eta^{+} η+ 和减小因子 η − \eta^{-} η−，例如， Δ m a x = 50 \Delta_{max}=50 Δmax​=50， Δ m i n = 1 e − 6 \Delta_{min}=1e - 6 Δ
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