2.1 双精度和单精度

“浮点”指一组对实数进行编码的数据类型，包括分数和小数。浮点数据类型允许小数点后有不同位数，而定点数据类型在小数点前后则保留特定位数。因此与定点数据类型相比，浮点数据类型可以表示更广范围的数值。

由于计算机在数字表示和存储方面的内存有限，只能表示有限精度的浮点数有限集合。这种有限精度无法精确表示某些数值，因而会限制需要精确值或高精度的浮点计算的准确度。尽管浮点数有其局限性，但其计算速度快且精度和范围足以求解现实世界的很多问题，因此得到广泛使用。

MATLAB® 以双精度或单精度格式表示浮点数。

默认为双精度，但你可以通过一个简单的转换函数将任何数值转换为单精度数值。

（1）创建双精度数据
由于 MATLAB 的默认数值类型是 double 类型，因此可以用简单的赋值语句创建双精度浮点数。

x = 122

可以使用 double 函数将数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为双精度值。例如，将有符号整数转换为双精度浮点数。

x = int8(120);
y = double(x)

（2）创建单精度数据

使用 single 函数创建单精度数值。

x = single(25.783);

2.2 浮点数的存储

默认情况下，MATLAB 根据 IEEE754 格式构造其 double 和 single 浮点数据类型，并遵循就近舍入，偶数优先舍入模式。

数据以二进制形式存储于计算机。

浮点数 $x$的二进制存储形式如下：
$$x=-1^s\cdot (1+f)\cdot 2^e$$

其中：

• s 确定符号。
• f 是满足 0 ≤f< 1 的小数（或尾数）。
• e 是指数。

s、f 和 e 分别由内存中有限数量的位确定，其中 f 和 e 取决于数据类型的精度。

存储 double 数需要 64 位，如下表所示。

位	宽度	用法
63	1	存储符号，其中 0 表示正值，1 表示负值，s
62 到 52	11	存储指数，偏移量为 1023 ，e
51 到 0	52	存储尾数 ，f

存储 single 数需要 32 位，如下表所示。

位	宽度	用法
31	1	存储符号，其中 0 表示正值，1 表示负值
30 到 23	8	存储指数，偏移量为 127
22 到 0	23	存储尾数

???? 浮点数能表示的最大数量级：

用11个二进制位表示指数，则指数最大值为：$2^{11}-1=2047$，
偏移量是1023，则最大指数为：2047 - 1023 = 1024，对应的数量级就是$2^{1024}$，$10^{308}$，负数则是$10^{-308}$

????浮点数能保存的十进制的最多有效位数：

以双精度为例：52位（二进制）表示尾数，一个2进制能表示的十进制数的位数是$lo{g}_{10}2$：。二进制形式存储尾数时候，最高位默认位1，53个二进制位能表示的十进制数的位数是：
$$53\ast lo{g}_{10}2\approx 15.96$$

所以double类型存储数据的有效位数是15到16位（如果是一个整数则是最大为2^53，即flinrmax）。

同理single最多可以精确存储6到7位有效数字。

超过有效位数的时候，超过的部分就可能丢失精度。

即，double使用64个二进制位存储十进制数，这64个二进制位只有52个二进制位来存储尾数，对应十进制的15到16位有效数字。

???? 浮点数的大小比较问题：

主要是小数部分，小数转为二进制有时候是无限循环的，但是一个double最多使用52位来存储小数部分对应的二进制，有限的二进制位就不能精确表示这个小数，只是无限精确。即使精确到99.99999999999%也不是等于。

比如 0.1+0.2 和 0.3 是不相等的。因为0.1和0.2对应的52位（尾数）二进制相加后和0.3的二进制不同：

转换 0.1 为二进制

1. 0.1 * 2 = 0.2 → 整数部分是 0，记录下来，剩余部分是 0.2。
2. 0.2 * 2 = 0.4 → 整数部分是 0，记录下来，剩余部分是 0.4。
3. 0.4 * 2 = 0.8 → 整数部分是 0，记录下来，剩余部分是 0.8。
4. 0.8 * 2 = 1.6 → 整数部分是 1，记录下来，剩余部分是 0.6。
5. 0.6 * 2 = 1.2 → 整数部分是 1，记录下来，剩余部分是 0.2。
6. 0.2 * 2 = 0.4 → 整数部分是 0，记录下来，剩余部分是 0.4。

可以看到，0.1 的小数部分开始循环重复（0.1 = 0.00011001100110011...），这是一个无限循环的二进制小数。

浮点数运算后，可以使用如下方式比较2个运算结果：

x+y-0.3<eps

eps表示浮点相对精度，即2个距离最近的（双精度）浮点数之间的距离。d = eps("single")则为2个距离最近的single之间的距离。

>> eps

ans =

   2.2204e-16

2.3 浮点数的最值

double_max = realmax('double')
double_min = realmin('double')

single_max = realmax('single')
single_min = realmin('single')

double_max = 1.7977e+308表示$1.797\ast 10^{308}$。这个数是极大的，是太阳质量的数量级的10多倍。

超过这个范围的数记为Inf，-Inf。

2.4 浮点数的“四舍五入”

❄️ （1）直接使用int8等转换函数转换为整数类型，规则是，小数部分四舍五入；

❄️ （2）round函数：支持多种转换方案

• a. 小数部分四舍五入，结果为double类型：round(x)

• b. 四舍五入到 N 位数（N可用为正负、零，从小数点向两边数起）：Y = round(X,N)

• c. 指定四舍五入类型：Y = round(X,N,type)
  type的取值有"decimals" （默认） | "significant"，前者指定保留的小数位数，等同于：Y = round(X,N)
  若使用第二个参数，四舍五入到具有 N 个有效位数的最近数值：

num = 1234.456
num_round_2 = round(num,2,'significant')
num_round_3 = round(num,3,'significant')

输出分别是1200和1230。

• d.指定处理方向，结值处理方向，指定为以下值之一：

Y = round(___,TieBreaker=direction)

“fromzero” - 将结值朝偏离零的方向舍入到模更大的最接近的整数。

“tozero” - 将结值朝零方向舍入到模更小的最接近的整数。

“even” - 将结值舍入到最接近的偶数。

“odd” - 将结值舍入到最接近的奇数。

“plusinf” - 将结值朝正无穷大方向舍入到更大的最接近的整数。

“minusinf” - 将结值朝负无穷大方向舍入到更小的最接近的整数。

例：

num = 1.5
num_round_1 = round(num,'TieBreaker','fromzero') % 输出是2
num_round_2 = round(num,'TieBreaker','tozero')   % 输出是1

上面2个参数主要是针对小数等于0.5的情况。而，num = 1.2，结果均为1，num=1.7，结果均为2。

推荐使用round进行正常四舍五入，带方向的可以使用下列函数：

❄️ （3）floor(X)函数：将 X 的每个元素四舍五入到小于或等于该元素的最接近整数。
❄️ （4）ceil(X)函数：将 X 的每个元素四舍五入到大于或等于该元素的最接近整数。
❄️ （5）fix(X) 函数：将 X 的每个元素朝零方向四舍五入为最近的整数。此操作实际上是通过删除 X 中每个数的小数部分，将它们截断为整数：

2.5 浮点数的算术运算

就几条规则：

1. double类型可用和任意类型进行运算。常见：single、double、char、logic、任意int类型
   • 和single运算的结果是single；
   • 和整数运算结果为对应的整数类型，且结果受到对应整数类型的最值限制；
   • 其它结果都为double类型。
2. single类型只能和以下类型运算：single、double、char、logic（即不能和整数运算）。结果都为single。

2.6 意外：舍入误差、抵消、淹没和中间转换

之前已经说过了，浮点数可能需要无限个二进制位来精确存储，但这不现实，实际上只能用64位来存储一个浮点数，所以会导致一些不准确或者意料之外的结果。

意外的结果并非 MATLAB 中的 Bug，任何使用浮点数的软件都会出现这种情况。如果需要数值的精确有理表示形式，请考虑使用 Symbolic Math Toolbox™。

（1）舍入误差：

浮点数的有限精度表示可能导致舍入误差。例如 $\pi$。

>> sin(pi)

ans =

   1.2246e-16

当对浮点数执行许多运算时，误差会不断累积和复合，舍入误差最为显著。最佳做法是尽可能减少运算次数。

（2）抵消：根据 eps 的测量，从数量级大致相同的一个数中减去另一个数时，可能发生抵消。

（3）淹没：对数量级相差特别大的浮点数执行运算时，可能发生淹没。

（3）中间转换：使用不同数据类型执行算术时，中间计算和转换可能会产生意外的结果。