五、不能对角化的矩阵

假设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，我们从两个方面发现这个事实：

1. 特征向量（几何的）：$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 有非零解。
2. 特征值（代数的）：$A-\lambda I$ 的行列式为零。

数字 $\lambda$ 可能是一个单一的特征值也可能是重复的特征值，我们想要知道它的重复数（multiplicity）。大多数特征值的重复度 $M=1$（单一的特征值），有一条特征向量的直线，且 $\det (A-\lambda I)$ 没有多重因子。
但是也有一些例外的矩阵，它的特征值可能重复（repeated），则有两种不同的方式来计算它的重复度，对于每一个 $\lambda$ 总是有 $\text{GM}\le \text{AM}$：

1. $(几何重数\text{Geometric Multiplicity = GM})$计算 $\lambda$ 对应的无关特征向量的个数。则 $\text{GM}$ 就是 $A-\lambda I$ 零空间的维度。
2. $(代数重数\text{Algebraic Multiplicity = AM})$$\text{AM}$ 计算的是 $\lambda$ 在特征值中的重复次数，检验 $\det (A-\lambda I)=0$ 的 $n$ 个根。

如果 $A$ 有特征值 $\lambda =4,4,4$，则特征值有 $\text{AM}=3$，且 $\text{GM}=1,2$ 或 $3$。
下面的矩阵 $A$ 是一个标准的麻烦例子，它的特征值 $\lambda =0$ 是重复的，这是一个双重特征值（$\text{AM}=2$），但是只有一个特征向量 $\text{GM}=1$。$$\begin{array}{c}\text{AM}=2\\ \text{GM}=1\end{array}A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]有\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 0& -\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2\begin{array}{c}\lambda =0,0但是只\\ 有1个特征向量\end{array}$$由于 ${\lambda }^2=0$ 有双重根，所以理论上应该有两个特征向量，双重因子 ${\lambda }^2$ 使得 $\text{AM}=2$，但是只有 $1$ 个特征向量 $\mathbf{x}=(1,0)$ 且 $\text{GM}=1$。当 $\text{GM}$ 小于 $\text{AM}$ 时，此时特征向量的不足使得 $A$ 无法对角化。
下面的三个矩阵同样是特征向量不足，它们重复的特征值是 $\lambda =5$，迹是 $10$ 行列式是 $25$：$$A=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 5\end{array}\right]和A=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ 1& 4\end{array}\right]和A=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ -2& 3\end{array}\right]$$这三个矩阵都有 $\det (A-\lambda I)=(\lambda -5{)}^2$，代数重数是 $\text{AM}=2$，但是每个 $A-5I$ 的秩都为 $1$，所以几何重数是 $\text{GM}=1$。对应 $\lambda =5$ 的只有一条特征向量的直线，这些矩阵都不能对角化。

六、主要内容总结

1. 如果 $A$ 有 $n$ 个无关的特征向量 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_n$，它们进入到 $X$ 的列。$$A被X对角化X^{-1}AX=\Lambda 和A=X\Lambda X^{-1}$$
2. $A$ 的幂是 $A^k=X{\Lambda }^k{X}^{-1}$，在 $X$ 中的特征向量不变。
3. $A^k$ 的特征值是矩阵