一、基本概念

逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛使用的统计方法，用于预测一个二分类结果发生的概率。尽管它被称为“回归”，但它实际上是用于分类问题的。逻辑回归的核心是使用逻辑函数（也称为sigmoid函数）来模拟因变量与自变量之间的关系。

Logistic回归算法用的是Logistic函数，该函数定义如下：
$$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
其函数图像如下：

当自变量的值是0是，它的值为0.5，当自变量的值趋于$-\infty$,函数的值趋近于0。当自变量的值趋近于$\infty$时，函数的值就趋近于1。

由于Logistic函数图像的形状类似于“S”，所以它又被成为Sigmoid函数。

    

二、决策边界

Logistic回归算法中，我们需要解决的基本问题是，寻找一条"决策边界"，将样本点进行分开。

所谓决策边界，它在二维空间空间中是一条线，在三维空间中是一个面，在更高维的空间中是一个超平面。用于将样本点进行区分，它是分类问题中分类决策的依据。

如果二维空间中的样本点存在一条直线的决策边界;三维空间中的样本点存在一个平面的决策边界:更高维空间中的样本点存在一个超平面的决策边界,则我们称这些样本点是线性可分的。

对于二维空间中线性可分问题，其函数如下：
$$f(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n={\theta }^{T}X$$
令
$$g(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
再令
$$h_{\theta }(x)=g(f(x))=g({\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n)$$

求出了其中的${\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n$就可以用上面的函数对新的数据进行判断(判断结果是它属于正样本的概率值)。
    

三、损失函数

假设我们采集了$m$个样本的$n$个特征并完成了数据标注。
$$x_1^i,x_2^i,...,x_n^i,y^i(1\le i\le m)$$

其中正样本的$y^i=1，负样本的y^i=0。$
我们假定这N个特征是现行可分的，即存在一条如下直线将两类样本进行划分
$${\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_n{x}_n=0$$

令
$$d={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_n{x}_n$$
此处$d$ 表示样本点到决策边界的距离，它是有正负的一个值。

将第 $i$ 个样本点的所有特征数据带入上式中，就可以求出该样本点距离直线的距离。
$$d^{(i)}={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1^{(i)}+{\theta }_2{x}_2^{(i)}+\cdots +{\theta }_n{x}_n^{(i)}$$

此处我们将$d(\theta )带入logistic函数$可以得到

$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-d(\theta )}}$$

它是正样本属于正类的概率，也是关于 $\theta$ 的函数
对于正样本我