在一点处连续

在前面 “连续导论” 的内容说过如果一个函数是连续的，这到底意味着这个函数在图像层面可以一笔画出该函数的图像，这对于像 $y=2x$，$y=x^2$ 这样的函数来说没有问题，因为整个图像在一块，一笔就能画出，但对于像 $y=\frac{1}{x}$ 这样的反比例函数，这就有一点儿不公平了由于 $x\to 0$ 时在 $x=0$ 处有一条垂直渐近线，以至于图像被分割为两部分。所以对于 $y=2x$ 和 $y=x^2$ 处处连续，而 $y=\frac{1}{x}$ 则在 $x=0$ 处不连续（因为函数的定义域实际上要求 $x\ne 0$），所以一般情况下除了分割点 $x=0$ 之外其余处处连续。

1. 分析

判断一个函数在某一点处连不连续用图像法是挺好判断的，画出图像观察就行了，但是吧，如果要判断函数在无穷远处是不是连续用图像法总归不好画，所以在数学上一个函数连续不连续总归还是要能计算出来比较方便。

想象一下我们以一个函数 $f$ 和在 $x$ 轴上其定义域中的点 $a$ 开始（要在函数的定义域内选一个点，如果选的一个点不在函数的定义域内，那就不能说这个点是函数上的一个点）。当我们画 $y=f(x)$ 的图像时，想要在通过图像上的点 $(a,f(a))$ 时不提起笔。如果在其他地方必须提起笔的话, 那也不要紧，只要在 $(a,f(a))$ 的附近不提起笔就行了（因为这里只要求函数在某一点处连续），这意味着，我们想要一连串点 $(x,f(x))$ 变得越来越接近 (事实上是任意地接近) 于点 $(a,f(a))$，换句话说，当 $x\to a$ 时, 需要 $f(x)\to f(a)$。没错，我们这里面对的是极限问题。

下面代入想象的情境用更通俗的语言再来解释这一段话，并得出使用极限的表示方式，这样可以更清楚的知道极限在连续分析中的作用。

2. 理解

函数在某一点处连续用通俗的方式如何理解？例如有一连串的点越来越接近于某一个点，有多接近呢？无限的接近，足够的接近（在现实世界最小细分尺度受限于有限的空间，所以在一段的有限距离下是不能无限切割出无数等分的，但是在数学上没有这个限制，可以将一段坐标轴切割成无数等分，两个数之间可以再细分出无数个细分小数值，那这个接近程度就是这无数等分中两个相邻等分的距离，所以说非常接近）由于无限的接近这个点，那么这一连串点的值应该也是越来越接近这某个点的值的，无论是从左边还是右边越来越接近，这些点的值都是越来越接近这某个点的，那么从函数图像上来看就是图像在这一点上是非常光滑的，这就是函数在某一点处连续的直观效果，那么这个描述可以使用极限进行描述的。

$$如果\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a),函数f在点x=a处连续$$

为了让前面的等式有意义，等号两边必须都是有定义的。如果极限不存在，那
么 $f$ 在点 $x=a$ 处不连续，而如果 $f(a)$ 不存在，那函数上甚至都没有一个点 $(a,f(a))$ 可以让你通过。

3. 定义

有了通俗描述的理解，现在可以知道连续问题的本质是 “极限的计算”，计算某一点邻域的极限和该点的函数值是否相同。同时在连续性方面函数的定义域也十分重要，必须去考量函数的定义域，要求函数在某一点上是有定义的。

下面呢我们可以结合极限，结合函数定义域来给出函数连续性更精简，更精确一些的描述，并明确地要求以下三条成立：

(1) 双侧极限 ${\lim }_{x\to a}f(x)$ 存在，即左极限 $x\to a^{-}$ 和右极限 $x\to a^{+}$ 相等（并且是有限的）。
(2) 函数在点 $x=a$ 处有定义，即 $f(a)$ 存在（并且是有限的）。
(3) 以上两个量相等, 即 ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$。

4. 实例

知道了函数连续性的定义，现在将连续性的定义代入到这几张图来中，分析一下图中函数的连续性。这四张图是非常经典的，观察图像可以试着想象并回顾函数连续性的判断原理，有助于理解记忆函数连续性相关的知识点。

(1) 在标号为 1 的图中，在 $x=a$ 处的左极限和右极限不相等，则双侧极限不存在，所以函数在点 $x=a$ 处不连续。

(2) 在标号为 2 的图中，左极限和右极限都存在且是有限的，并且左右极限相等， 故双侧极限存在，但函数在点 $x=a$ 处无定义，因此函数在点 $x=a$ 处不连续。

(3) 在标号为 3 的图中, 双侧极限也存在, 函数在点 $x=a$ 处有定义，但极限值和函数值不相等，再一次地，函数在点 $x=a$ 处一次不连续。

(4) 在标号为 4 的图中，由于双侧极限在点 $x=a$ 处存在，$f(a)$ 存在，并且极限值和函数值相等，因此函数的确在点 $x=a$ 处连续。顺便说一下，前三个图中的函数在点 $x=a$ 处有一个不连续点。