EM算法（Expectation-Maximization Algorithm，期望最大化算法）是一种迭代优化算法，主要用于在含有隐变量（未观测变量）或不完全数据的概率模型中，估计参数的最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）或最大后验概率估计（Maximum A Posteriori, MAP）。它被广泛应用于各种机器学习问题，如混合高斯模型、隐马尔可夫模型（HMM）等。

背景与动机

在许多统计问题中，数据并不总是完全观测的。例如，某些观测数据可能部分丢失，或存在无法直接测量的隐变量。在这种情况下，直接使用最大似然估计（MLE）来估计模型参数可能变得困难，因为我们无法明确地处理这些隐藏变量。

EM算法通过迭代更新参数，将原问题分解为两个步骤：期望步骤（E步） 和 最大化步骤（M步），从而逐渐逼近参数的最大似然估计。

EM算法的基本思想

EM算法的核心思想是通过处理隐藏变量，优化含有不完全数据的似然函数。假设我们有观测到的数据集 和隐藏的（未观测到的）数据 ，目标是通过观测数据 来估计模型的参数 。由于隐藏变量的存在，我们的似然函数并不直接对

EM算法的关键在于，将隐变量的估计和参数更新分成两个步骤，每一步都相对简单：

1. E步（期望步骤，Expectation Step）：在给定当前参数 的情况下，计算后验概率分布 ，并利用它来估计隐藏变量的期望值（或其相关量）。
2. M步（最大化步骤，Maximization Step）：使用E步计算的期望值，最大化含有隐藏变量的完全数据的对数似然函数，以更新模型参数 。

然后，重复进行E步和M步，直到参数收敛。

EM算法的步骤

假设我们有观测数据 和未观测到的隐藏数据 ，模型的参数为 。EM算法的步骤可以描述如下：

1. 初始化：随机初始化模型参数
2. E步（期望步骤）：根据当前参数 ，计算隐藏变量的条件期望，即计算 给定观测数据 和当前参数
   在这个步骤中，我们计算的是Q函数：