采样频率 Fs 的一半（即奈奎斯特频率）

2024-10-22 07:22:26

奈奎斯特频率（Nyquist Frequency） 是在数字信号处理中非常重要的概念，它是信号的采样频率的一半，表示可以在采样信号中有效还原的最高频率成分。奈奎斯特频率与采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）紧密相关，该定理描述了如何从离散采样信号中正确还原原始连续信号。

1. 采样频率与奈奎斯特频率的定义

采样频率 ：是对信号进行采样时的速率，通常用赫兹（Hz）表示。它表示每秒采集多少个样本数据。例如，采样频率表示每秒采样 1000 次。

奈奎斯特频率 $F_{N}$ ：是采样频率的一半：

$F_{N}=\frac{Fs}{2}$

奈奎斯特频率表示在离散采样中可以准确表示的最高频率。如果信号中的频率成分超过奈奎斯特频率，就会产生一种叫做混叠（aliasing）的现象。

2. 采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）

采样定理指出：

为了准确重建一个包含最高频率为的连续信号，采样频率必须大于或等于信号中最高频率的两倍：

$F_{s}\geq 2F_{max}$

也就是说，如果一个信号的最高频率为，那么采样频率至少要为，才能完整记录信号信息而不丢失频率信息。此时，奈奎斯特频率为。

3. 奈奎斯特频率的物理意义

奈奎斯特频率表示在采样数据中能够无失真还原的最高频率。超过奈奎斯特频率的频率成分在采样过程中会产生混叠，即高频信号会被误解为低频信号，使得重建后的信号失真。

举例：

如果采样频率 $F_{s}=1000Hz$ ,则奈奎斯特频率 $F_{N}=500Hz$ 。这意味着：

你只能正确还原低于或等于的信号频率。

如果信号中的频率超过，则在采样后可能会被误解为较低的频率，这种现象称为频率混叠。

4. 混叠现象（Aliasing）

当信号的频率超过奈奎斯特频率时，高频部分无法被正确采样，导致信号在频谱中的频率成分“折返”到较低频率。这种现象称为混叠。

5. 如何避免混叠

为避免混叠现象，通常在采样信号之前，需要确保信号中的频率成分不会超过奈奎斯特频率：

提高采样频率：根据采样定理，选择足够高的采样频率（至少是信号最高频率的两倍）。

使用抗混叠滤波器（Anti-Aliasing Filter）：在采样前，使用低通滤波器来限制信号的频率成分，去除高于奈奎斯特频率的部分。

6. FFT 与奈奎斯特频率

在快速傅里叶变换（FFT）中，奈奎斯特频率也起着重要作用。FFT 的输出频率范围从 0 到奈奎斯特频率。

如果采样频率为，FFT 的频率范围将是从 0 到。

FFT 的结果中的正频率部分表示从 0 Hz 到奈奎斯特频率的频率分量，负频率部分通常与正频率部分对称，不被显示。