文章目录
- 向量函数
- 定义
- 极限
- 定理1（向量函数极限与其实函数分量极限关系）
- 定理2（向量函数极限运算法则）
- 连续性
- 定理3（向量函数连续性与其实函数分量连续性关系）
- 可导性
- 定理4（向量函数可导性与其实函数分量可导性关系）
- 定理4推论
- 定理5（向量函数导数运算法则）
- 定理6（向量函数的泰勒公式）
- 定理7（向量函数复合实函数导数）
- 积分
- 定理8（积分相关命题）
- 旋转速度
- 定理9：单位向量函数 r ( t ) \boldsymbol{r}(t) r(t)（ ∣ r ( t ) ∣ = 1 |\boldsymbol{r}(t)|=1 ∣r(t)∣=1）关于 t t t的旋转速度等于其微商（导数）的模 ∣ r ′ ( t ) ∣ |\boldsymbol{r'}(t)| ∣r′(t)∣
- 其他定理
- 定理10：可导向量函数有固定长当且仅当它与其导数在每一点处都正交
- 定理11：可导向量函数有固定方向当且仅当 r ( t ) × r ′ ( t ) = 0 \boldsymbol{r}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime}(t)=\mathbf{0} r(t)×r′(t)=0
- 定理12：向量函数 r ( t ) \boldsymbol{r}(t) r(t)平行于固定平面当且仅当 ( r ( t ) , r ′ ( t ) , r ′ ′ ( t ) ) = 0 \left(\boldsymbol{r}(t), \boldsymbol{r}^{\prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right)=0 (r(t),r′(t),r′′(t))=0
向量函数
定义
设 D D D是一个集合,如果映射 r \boldsymbol r r将 D D D中每一元素都映射为 R R R中的一个位置向量，则称 r \boldsymbol r r为一个向量函数.
特别地，当 D D D为开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)时，向量函数 r \boldsymbol r r称为一元向量函数，记为 r ( t ) \boldsymbol r(t) r(t)，或 r = r ( t ) \boldsymbol r=\boldsymbol r(t) r=r(t).
当 D D D为开区域 ( a , b ) × ( c , d ) (a, b)×(c,d) (a,b)×(c,d)时,向量函数 r \boldsymbol r r称为二元向量函数，记为 r ( u , v ) \boldsymbol r(u, v) r(u,v)，或 r = r ( u , v ) \boldsymbol r=\boldsymbol r(u,v) r=r(u,v).
通常而言， r \boldsymbol r r映射的集合是一个由原点指向位置终点的向量集。当自变量变化时，后面我们会看到集合中向量的终点位置构成平面或空间中的曲线。
极限
设 r ( t ) r(t) r(t)是一个向量函数， a \boldsymbol a a是一个向量， t ∈ ( a , b ) t∈(a,b) t∈(a,b)，如果对于 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 ∀ε>0,∃δ>0，当 ∣ t − t 0 ∣ < δ |t-t_0|<\delta ∣t−t0∣<δ时，有 ∣ r ( t ) − a ∣ < ε |\boldsymbol r(t)-\boldsymbol a|<\varepsilon ∣r(t)−a∣<ε，则称当 t → t 0 t \rightarrow t_0 t→t0时,向量函数 r ( t ) \boldsymbol r(t) r(t)的极限为 a \boldsymbol a a，记作： lim t → t 0 r ( t ) = a \lim _{t \rightarrow t_0} \boldsymbol r(t)=\boldsymbol a limt→t0r(t)=a，
或 t → t 0 t \rightarrow t_0 t→t0时， r ( t ) → a \boldsymbol r(t) \rightarrow \boldsymbol a r(t)→a，
或 t → t 0 t \rightarrow t_0 t→t0时， ∣ r ( t ) − a ∣ → 0 |\boldsymbol r(t)-\boldsymbol a| \rightarrow 0 ∣r(t)−a∣→0.
定理1（向量函数极限与其实函数分量极限关系）
设向量函数
r
(
t
)
=
{
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
}
\boldsymbol r(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}
r(t)={x(t),y(t),z(t)}，
a
=
x
0
,
y
0
,
z
0
\boldsymbol a={x_0,y_0,z_0}
a=x0,y0,z0，则：
lim
t
→
t
0
r
(
t
)
=
a
⇔
lim
t
→
t
0
x
(
t
)
=
x
0
,
lim
t
→
t
0
y
(
t
)
=
y
0
,
lim
t
→
t
0
z
(
t
)
=
z
0
\begin{array}{l} \lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{r}(t)=\boldsymbol{a} \Leftrightarrow \lim _{t \rightarrow t_{0}} x(t)=x_{0}, \lim _{t \rightarrow t_{0}} y(t)=y_{0}, \lim _{t \rightarrow t_{0}} z(t)=z_{0} \end{array}
limt→t0r(t)=a⇔limt→t0x(t)=x0,limt→t0y(t)=y0,limt→t0z(t)=z0
证明：通过向量函数极限定义证明即可。
通过定理1，后续的很多问题都可以从向量函数转化到实函数来求解，如求极限，求导等。
定理2（向量函数极限运算法则）
设
r
(
t
)
,
s
(
t
)
\boldsymbol r(t),\boldsymbol s(t)
r(t),s(t)为两个一元向量函数，
λ
(
t
)
\lambda(t)
λ(t)为一元实函数，如果
l
i
m
t
→
t
0
r
(
t
)
=
a
,
lim
t
→
t
0
s
(
t
)
=
b
,
lim
t
→
t
0
λ
(
t
)
=
m
lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{r}(t)=\boldsymbol{a}, \quad \lim _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{b}, \quad \lim _{t \rightarrow t_{0}} \lambda(t)=m
limt→t0r(t)=a,limt→t0s(t)=b,limt→t0λ(t)=m，则：
lim
t
→
t
0
(
r
(
t
)
±
s
(
t
)
)
=
a
±
b
lim
t
→
t
0
(
λ
(
t
)
r
(
t
)
)
=
m
a
lim
t
→
t
0
(
r
(
t
)
⋅
s
(
t
)
)
=