例24   数制转换

题目描述

请你编一程序实现两种不同进制之间的数据转换。

输入格式

共三行，第一行是一个正整数，表示需要转换的数的进制n(2≤n≤16)，第二行是一个n进制数，若n>10则用大写字母A-F表示数码10-15，并且该n进制数对应的十进制的值不超过1000000000，第三行也是一个正整数，表示转换之后的数的进制m(2≤m≤16)。

输出格式

一个正整数，表示转换之后的m进制数。

输入样例

16

FF

2

输出样例

11111111

（1）编程思路。

十进制整数转换为R进制整数的基本方法是：“除R取余”。具体做法为：对于十进制数整数，用R连续除要转换的十进制整数及各次所得之商，直除到商等于0时为止，则各次所得之余数即为所求R进制整数由低位到高位的值。这个过程可以写成一个简单的循环。

一般而言，对于任意的R进制数 A_n-1A_n-2…A₁A₀可以表示为以下和式：

A_n-1×R^n-1 +…+A₁×R¹+A₀×R⁰ (其中R为基数)

这个和式也称为“按权展开式”。

R进制数转换为十进制数的基本方法是将R进制数的各位按权展开相加即可。

本例的思路是：将输入的n进制整数按权值展开后转换为十进制整数，再将所得的十进制整数采用“除m取余”转换为m进制整数即可。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

char table[17]="0123456789ABCDEF";

int n,m;

char s[33];

scanf("%d",&n);

scanf("%s",s);

scanf("%d",&m);

int num=0;

for (int i=0;s[i]!='\0';i++)     // n进制整数按权值展开后转换为十进制整数num

{

if (s[i]>='0' && s[i]<='9')

num=num*n+s[i]-'0';

else

num=num*n+s[i]-'A'+10;

}

int digit[32],cnt=0;

do {                   // 十进制整数采用“除m取余”转换为m进制整数

digit[cnt++]=num%m;

num=num/m;

} while (num!=0);

for (int i=cnt-1;i>=0;i--)

printf("%c",table[digit[i]]);

printf("\n");

return 0;

}

习题24

24-1  高低位交换

本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1100）。

题目描述

给出一个小于2³²的正整数。这个数可以用一个32位的二进制数表示（不足32位用0补足）。我们称这个二进制数的前16位为“高位”，后16位为“低位”。将它的高低位交换，我们可以得到一个新的数。试问这个新的数是多少（用十进制表示）。

例如，数1314520用二进制表示为00000000000101000000111011011000（添加了11个前导0补足为32位），其中前16位为高位，即0000000000010100；后16位为低位，即0000111011011000。将它的高低位进行交换，我们得到了一个新的二进制数00001110110110000000000000010100。它即是十进制的249036820。

输入格式

一个小于2³²的正整数。

输出格式

将新的数输出

输入样例

1314520

输出样例

249036820

（1）编程思路。

将输入的十进制整数采用“除2取余”转换为二进制整数，再将所得的二进制整数依照低16位在前高16位在后的方式按权值展开后转换为十进制整数即可。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

unsigned int num;

scanf("%d",&num);

int digit[32]={0},cnt=0;

do {                   // 十进制整数采用“除2取余”转换为二进制整数

digit[cnt++]=num%2;

num=num/2;

} while (num!=0);

int i;

for (i=15;i>=0;i--)            // 先将低16位按权值展开

num=num*2+digit[i];

for (i=31;i>=16;i--)           // 再将高16位按权值展开

num=num*2+digit[i];

printf("%u\n",num);

return 0;

}

24-2  进制转换

本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1017）。

题目描述

一般说来,任何一个正整数R或一个负整数-R都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以R或-R为基数,则需要用到的数码为 0,1,....R-1。例如,当R=7时，所需用到的数码是0,1,2,3,4,5和6，这与其是R或-R无关。如果作为基数的数绝对值超过10，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于9的数码。例如对16进制数来说，用A表示10，用B表示11，用C表示12，用D表示13，用E表示14，用F表示15。

在负进制数中是用-R作为基数,例如-15 (十进制)相当于110001 (-2进制)，并且它可以被表示为2的幂级数的和数:

110001=1×(−2)⁵ +1×(−2)⁴ +0×(−2)³ +0×(−2)² +0×(−2)¹ +1×(−2)⁰。

设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负进制下的数:-R∈{-2,-3,-4,...,-20}

输入格式

输入包括多组测试数据。

每组测试数据占一行，每行有两个输入数据。

第一个是十进制数N (−32768≤N≤32767)

第二个是负进制数的基数-R。

输出格式

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出此负进制数及其基数，若此基数超过10，则参照16进制的方式处理。

输入样例

30000 -2

-20000 -2

28800 -16

-25000 -16

输出样例

30000=11011010101110000(base-2)

-20000=1111011000100000(base-2)

28800=19180(base-16)

-25000=7FB8(base-16)

（1）编程思路。

我们知道十进制整数是采用“除R取余”转换为R进制整数的，对于负基数（-R）同样如此。

先看问题描述中的例子-15转换为-2进制数。在C语言中“除R取余”运算过程为：

这里余数出现了负数，需要将余数转换成正数，怎么处理呢？

因为， 被除数=商*除数+余数=商*除数+除数+余数-除数=（商+1）*除数+（余数-除数）。因此，若余数为负时，只需要将商+1，余数-除数，就可以将余数转换为正数。

因此，-15转换为-2进制数为110001。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

char table[21]="0123456789ABCDEFGHIJ";

int num,r;

while (scanf("%d%d",&num,&r)!=EOF)

{

printf("%d=",num);

int digit[32]={0},cnt=0;

do {

int t=num%r;

num=num/r;

if (t<0) {t=t-r; num++; }

digit[cnt++]=t;

} while (num!=0);

int i;

for (i=cnt-1;i>=0;i--)

printf("%c",table[digit[i]]);

printf("(base%d)\n",r);

}

return 0;

}

24-3  彩灯和按钮

问题描述

有一个机器，它有 m(2≤m≤30) 个彩灯和一个按钮。每按下按钮时，最右边的彩灯会发生一次变换。变换为：①如果当前状态为红色，它将变成绿色；②如果当前状态为绿色，它将变成蓝色；③如果当前状态为蓝色，它将变成红色，并且它左边的彩灯（如果存在）也会发生一次变换。初始状态下所有的彩灯都是红色的。

输入格式

输入包括多组测试，第1行给出正整数T(1≤T≤15)，表示测试数据的组数。

每组测试数据包括两个整数m(2≤m≤30) 和 n(1≤n<2⁶³)，分别表示彩灯的个数和按钮被按下的次数。

输出格式

对每组测试数据，按从左到右的顺序输出各彩灯的颜色状态，R 表示红色，G表示绿色，B 表示蓝色。

输入样例

2

3 1

2 3

输出样例

RRG

GR

（1）编程思路。

每按一次按钮都是从最右边的彩灯开始变换，将m个彩灯可以看成一个m位数，最右边的彩灯为其个位数，每按一次按钮可以看成个位数加1。每按三次后从右数第二个彩灯才会变一下，每按9次从右边数第三个彩灯会变换一次，……。

显然，m个彩灯表示的m位数可以看成是一个三进制数，红灯表示0，绿灯表示1，蓝灯表示2，将输入的n转换为3进制数即可。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int main()

{

char table[4]="RGB";

int t, m, len;

long long n;

int color[30];

scanf("%d", &t);

while(t--)

{

memset(color, 0, sizeof(color));

scanf("%d%lld", &m, &n);

len = m;

while (n > 0 && m > 0)

{

color[--m] = n % 3;

n /= 3;

}

for (int i=0; i<len; i++)

putchar(table[color[i]]);

putchar('\n');

}

return 0;

}