问题描述
你有两个相同的鸡蛋和一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。已知存在楼层 f，满足 0 <= f <= n，任何从高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会碎。每次操作，你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下（满足 1 <= x <= n）。如果鸡蛋碎了，你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎，则可以在之后的操作中重复使用这枚鸡蛋。请你计算并返回要确定 f 确切的值的最小操作次数是多少？
问题分析
这个问题看似简单，但实际上需要一些数学和逻辑推理。我们需要找到一种策略来最小化操作次数，同时确保我们能够找到临界楼层 f。
最优解
经过一些思考和分析，我们可以得出以下结论：
- 我们应该从第 x 层开始扔第一个鸡蛋。
- 如果鸡蛋碎了，我们需要从第 1 层开始逐层测试，最多需要 x-1 次额外操作。
- 如果鸡蛋没碎，我们应该从第 2x-1 层扔第二个鸡蛋。
- 如果第二个鸡蛋碎了，我们需要从第 x+1 层开始逐层测试到第 2x-2 层，最多需要 x-2 次额外操作。
- 如果第二个鸡蛋没碎，我们应该从第 3x-3 层扔第三个鸡蛋，依此类推。
说明：为什么如果第一次鸡蛋没碎，我们选择2x-1这个楼层初始策略：
我们从第 x 层开始扔第一个鸡蛋。
如果鸡蛋碎了，我们需要从第 1 层开始逐层测试，最多需要 x-1 次额外操作。
总操作次数：1 (第一次扔) + (x-1) = x 次
如果第一次鸡蛋没碎：
我们知道临界楼层 f 在 x 层以上。
我们希望继续使用同样的策略，即在最坏情况下，总操作次数不超过 x 次。
选择 2x-1 层的原因：
如果在 2x-1 层鸡蛋碎了，我们需要从 x+1 层开始逐层测试到 2x-2 层。
这需要的额外操作次数是：(2x-2) - (x+1) + 1 = x-2 次
总操作次数：1 (第一次扔) + 1 (第二次扔) + (x-2) = x 次
为什么不选择其他楼层：
如果我们选择低于 2x-1 的楼层，比如 2x-2：
如果鸡蛋碎了，我们仍然需要 x-2 次额外操作。
但如果没碎，我们在下一次扔鸡蛋时可能需要超过 x 次总操作。
如果我们选择高于 2x-1 的楼层，比如 2x：
如果鸡蛋碎了，我们需要 x-1 次额外操作，总操作次数将超过 x。
继续这个策略：
如果第二次鸡蛋没碎，我们会选择 3x-3 层。
如果再次没碎，我们会选择 4x-6 层，依此类推。
这个序列是：x, 2x-1, 3x-3, 4x-6, …
每次的间隔都比前一次少 1，确保在最坏情况下总操作次数不超过 x。
数学证明
我们可以使用以下等式来证明我们的策略是最优的：
x + (x-1) + (x-2) + … + 1 >= n
这个等式代表了我们的策略能够覆盖的总楼层数。我们可以通过以下步骤来证明这个等式：
- x：第一次扔鸡蛋的楼层
- (x-1)：第一次和第二次扔鸡蛋之间的楼层数
- (x-2)：第二次和第三次扔鸡蛋之间的楼层数
- 以此类推，直到最后的 1
通过简化这个等式，我们可以得到：
x(x+1)/2 >= n
这个等式可以帮助我们找到 x 的最小值，即：
x >= (-1 + sqrt(1 + 8n)) / 2
代码实现
以下是 Python 代码实现：
import math
def twoEggDrop(n):
x = math.ceil((-1 + math.sqrt(1 + 8*n)) / 2)
return x
# 测试
n = 100
print(twoEggDrop(n))
结论
通过这个问题，我们可以看到如何使用数学和逻辑推理来解决复杂的问题。我们的策略是最优的，因为我们能够在最坏情况下最小化操作次数，同时确保我们能够找到临界楼层 f。这个问题也告诉我们，sometimes，我们需要考虑最坏的情况下才能找到最优的解决方案。