T1 密钥 [关键结论，模拟，枚举]

Description

给定两个长度为 \(n\) 的 \(01\) 序列 \(a\)，\(b\)，每个位置都有一个权值 \(c\)，
每次操作可以将 \(a\) 中一个位置取反，花费为操作后 1 的位置的权值之和，
求将 \(a\) 变成 \(b\) 最小花费。
\(n\le 5\times 10^3\)。

Solution

下文将以类似 \(0/1\) 的形式表示 \(a\) 为 \(0\)，\(b\) 为 \(1\)。
手模样例加推理发现一个关键性质，对于 \(1/0\) 和 \(0/1\) 这两种形式，肯定先把 \(1/0\) 按照权值从大到小变成 \(0/0\)，再把 \(0/1\) 从小到大变成 \(1/1\)，很好理解，证明简单，这里不再赘述。
但是有种特殊的形式 \(1/1\)，可以在上面的操作中，先变为 \(0/1\)，最后再变回 \(1/1\)，以减小花费，但是我们并不能直接算出要变哪几个 \(1/1\)，但是可以知道的是，这几个 \(1/1\) 一定是所有 \(1/1\) 中最大的几个。
于是考虑枚举前几个 \(1/1\) 需要和 \(1/0\) 合起来排序变为 \(0/1\) 和 \(0/1\)，再和 \(0/1\) 合起来排序变为 \(1/1\)，即可。
排序可以用 set 维护，也可以用双指针，但不能每次都 sort()。

Summary

这题考察了观察和推理能力，以及一些码力，赛时需要多手模样例，多思考，推性质。

T2 科研基地 [树形背包DP]

Description

给定一棵带权树，求一个连通块，使得不在连通块内的点不超过 \(k\) 个，且连通块所有边权之和乘二最小。
\(n\le 10^4\)，\(k\le 20\)。

Solution

由于 \(k\) 很小，而且是个类似容量的东西，所以我们考虑 树形背包。
设 \(f(u,i,j)\) 表示在以 \(u\) 为根的子树中，考虑前 \(i\) 个儿子，有 \(j\) 个点不选的最小答案，转移如下，
\(f(u,i,j)=\max(f(u,i-1,j-t)+f(v,cntson_v,t)+w_{u,v}\times 2)\)，
其中 \(i\) 这一维用滚动数组滚掉即可。

那么统计总答案只需要枚举每个点的 \(f\) 即可，这样为什么不会漏掉答案呢，为什么不需要 换根DP 呢，因为答案一定是个连通块，所以它一定在以某个点为根的子树，因此这样一定会枚举到最优答案。

Summary

普通的 树形背包 题，重点是最后统计答案时的一个小 trick。