2024.10.6日比赛总结

A题：

题面描述：

我们有一个长度为 $k$ 的序列，要在其中取出 $n\times m$ 个数来组成一个矩阵，矩阵每一行的代价为这一行的最大值减去最小值，整个矩阵的代价为所有行的代价的最大值。问：矩阵代价最少是多少。

解法分析：

由于涉及最大值最小问题，首先想到二分答案。我们知道，如果给原来的 $k$ 个数排序（从小到大），那么组成每一行的 $m$ 个数一定连续的，因为这样才能保证最大值和最小值在区间的两侧。于是，我们使用 $O(m)$ 枚举找到这些区间，如果满足条件的区间超过 $n$ 个，就返回一。

B题：

题面描述：

有 $n$ 个点，可以与其他点碰撞产生反应 。现在我们给定一些关系，只有有关系的点相互碰撞才可以得分。问：最高得分是多少？

解法分析：

关系作用于两点之间， $A$ 与 $B$ 的关系应当是相互作用的，所以可以把关系网看为一张无向图。经过研究，发现，无向图只要联通，所有点都是可以互相到达的。但是总有一个点是别人到达他，而他自己无法到达，我们称为“聚点”。根据前面的推论，聚点的个数应当等于联通块的个数，而其他所有点都可以到达其联通块所在的聚点（即处聚点外的所有点都可以得分），所以分数为点数减联通块数。用 $bfs$ 或 $dfs$ 求一下联通块染色即可。

C题：

题面描述：

有两个数组，$A$，$B$都是 $n$ 的排列。如果$A_i!=B_i$那么可以将两者同时取出，否则只能选择其中一个数组并取出第一位，问：最少需要取多少次。

解法分析：

看到这题，一眼DP，我们现将好想的 $n^2$ 暴力DP写出来。$d{p}_{i,j}$表示$A$数组取了$i$个，$B$数组取了$j$个的最优答案。解析式并不难推导：
$$d{p}_{i,j}=\min (d{p}_{i-1,j},d{p}_{i,j-1},d{p}_{i-1,j-1})$$
$d{p}_{i-1,j-1}$时记得特判一下，确保两数不同。
接下来需要优化：我们知道两个数组都是 $n$ 的排列，所以如果$A_i=B_i$，那么也有且只有这一个相同，其他一定都不与这一位相同，所以只需要记录一下这一位的位置，到时候特判一下。

D题：不会啊qwq