AVL树是一种自平衡的二叉搜索树（Binary Search Tree, BST），由两位苏联数学家 Georgy Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 于 1962 年提出。其主要特点是通过保持树的平衡来保证基本操作（插入、删除和查找）的时间复杂度在 O(log n) 范围内。

概念

二叉搜索树：

AVL树是一种二叉搜索树，意味着每个节点都有一个键值，左子树的所有节点值小于该节点的值，右子树的所有节点值大于该节点的值。

平衡因子：

AVL树的每个节点都有一个平衡因子（Balance Factor），定义为该节点左子树的高度减去右子树的高度。
平衡因子可以取值为 -1、0 或 1。具体定义如下：
BF(node) = height(left subtree) - height(right subtree)
只有当平衡因子的绝对值不超过 1 时，树才是平衡的。

性质

自平衡：

AVL树在插入或删除节点时，通过旋转操作来保持树的平衡，以确保所有基本操作的时间复杂度为 O(log n)。

高度限制：

AVL树的高度 h 和节点数 n 之间存在关系：h ≤ 1.44 * log2(n + 2)。
这表明 AVL树相较于普通二叉搜索树，在最坏情况下也能保持较低的高度。

旋转操作：

当树失去平衡时，可以通过以下四种旋转操作来恢复平衡：

• 单右旋（Right Rotation）
• 单左旋（Left Rotation）
• 左右旋（Left-Right Rotation）
• 右左旋（Right-Left Rotation）

查找、插入与删除操作：

查找操作的时间复杂度为 O(log n)，因为 AVL树保持了平衡性。
插入和删除节点后，需要检查每个祖先节点的平衡因子，并可能进行旋转以恢复树的平衡。

应用
AVL树适合用于需要频繁插入和删除操作的场景，例如数据库管理系统和内存管理等，因为它能够提供快速的查找、插入和删除操作。由于AVL树总是保持平衡，因此在处理大量数据时，性能表现优越。