1 定义
如果函数 f(x, y) 的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 在点 (x₀, y₀) 的某个邻域内都存在，且在 (x₀, y₀) 处连续，则称偏导数在 (x₀, y₀) 处连续。
2 数学表达
lim
(
x
,
y
)
→
(
x
0
,
y
0
)
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
x
(
x
0
,
y
0
)
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)
(x,y)→(x0,y0)lim∂x∂f(x,y)=∂x∂f(x0,y0)
lim
(
x
,
y
)
→
(
x
0
,
y
0
)
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
(
x
0
,
y
0
)
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)
(x,y)→(x0,y0)lim∂y∂f(x,y)=∂y∂f(x0,y0)
偏导数连续：
- 意味着偏导数函数本身是连续的。
- 是函数可微的充分条件（但不是必要条件）。
- 保证混合偏导数的相等性。