首先要先了解一下01背包问题：

01背包问题就是有n和物品，每个物品有两个属性 一个是重量一个是价值；现在有一个背包，问每个物品只能用一次，能够将哪些物品装入背包容量为w的背包使得其价值总和最大

解法1：二维dp数组解决01背包问题

1.首先确认dp数组及其下标的含义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.确认递推公式：

分为两种情况：

第一种情况是不放物品i，那么dp[i][j]就是dp[i - 1][j]；

第二种情况是放物品i，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]；怎么推出来的呢？就是如果我们要放物品i的话就必须让背包的容量为j - weight[i]，那么容量为j - weight[i]的背包的最大价值为dp[i - 1][j - weight[i]]，在加上value[i]就能推出来了。

那么递推公式如下：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.确认dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

如图：

然后再看其他的情况：

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

其他位置初始化成0即可

4.遍历顺序

先遍历物品还是先遍历背包都可以。

解法2：一维dp数组

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

1.确定dp数组的含义：

dp[j]表示容量为j的背包所背的物品价值最大为dp[j]

2.确认递推公式：

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

那么递推公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i] + value[i])

3.如何初始化

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

4.确认遍历顺序

在遍历背包的时候要倒序遍历，

如果正序遍历的话物品会被放入多次。

下面用一道题目来举例

原题链接：416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

思路：

首先我们要将数组分为两个子集让数组元素之和相同，此时我们将数组相加再除2就是背包的最大容量。

本题中每一个元素的数值即使重量也是价值

1.确认dp数组的含义：

本题dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

2.确认递推公式：

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3.如何初始化

dp[0] = 0；

// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);

4.遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};