群 G L n ( R ) 中的单位元是 E n 可逆方阵 A ∈ G L n ( R ) 的逆元是 A 的逆矩阵 A − 1 n > 1 时 , G L n ( R ) 是一个非交换群。 群GL_n(R)中的单位元是E_n \\可逆方阵A \in GL_n(R)的逆元是A的逆矩阵A^{-1} \\n >1时,GL_n(R)是一个非交换群。 群GLn(R)中的单位元是En可逆方阵A∈GLn(R)的逆元是A的逆矩阵A−1n>1时,GLn(R)是一个非交换群。
U n = { x ∈ C ∣ x n = 1 } = { c o s 2 k π n + i s i n 2 k π n ∣ k = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 } 关于数的乘法构成一个 n 阶交换群 , 叫 n 次单位根群 1 为单位元 x n − 1 为逆元 U_n=\{x \in C|x^n=1\} \\=\{cos \frac {2k\pi} {n}+isin \frac {2k\pi} {n}|k=0,1,2,...,n-1\} \\关于数的乘法构成一个n阶交换群,叫n次单位根群 \\1为单位元 \\x^{n-1}为逆元 Un={x∈C∣xn=1}={cosn2kπ+isinn2kπ∣k=0,1,2,...,n−1}关于数的乘法构成一个n阶交换群,叫n次单位根群1为单位元xn−1为逆元
1.关于加法构成群
2.关于乘法不构成群(m>1时)
3.但特殊元素关于乘法构成群。
1. 设 m > 1 ，且为正整数。 2. U ( m ) = { a ˉ ∈ Z m ∣ ( a , m ) = 1 } 关于剩余类的乘法构成群。 单位元是 1 ˉ 逆元是 u ˉ , u ˉ ∈ U ( m ) ，即 U ( m ) 的每个元素在 U ( m ) 中都可逆。 ∀ a ˉ ∈ U ( m ) = > ( a , m ) = 1 a u + m v = 1 ( u , v ∈ Z ) ( u , m ) = 1 = > u ˉ ∈ U ( m ) , a ˉ u ˉ = u ˉ a ˉ = 1 ˉ 3. 群 ( U ( m ) , ⋅ ) 为 Z 的模 m 单位群 , 是交换群。 p 为素数时 , U ( p ) 记为 Z p ∗ Z p ∗ = { 1 ˉ , 2 ˉ , . . . , p − 1 ‾ } 4. U ( m ) 的阶为 ϕ ( m ) （欧拉函数） m = p 1 r 1 p 2 r 2 . . . p s r s ( p i 为 m 的不同素因子 ) ϕ ( m ) = ( p 1 r 1 − p 1 r 1 − 1 ) ( p 2 r 2 − p 2 r 2 − 1 ) . . . ( p n r n − p n r n − 1 ) = m ∏ i = 1 s （ 1 − 1 p i ) 1.设m>1，且为正整数。 \\2.U(m)=\{\bar a \in Z_m|(a,m)=1\}关于剩余类的乘法构成群。 \\单位元是\bar 1 \\逆元是\bar u,\bar u \in U(m)，即U(m)的每个元素在U(m)中都可逆。 \\\forall \bar a \in U(m)=>(a,m)=1 \\au+mv=1(u,v \in Z) \\(u,m)=1=>\bar u \in U(m),\bar a \bar u=\bar u \bar a=\bar 1 \\3.群(U(m),\cdot)为Z的模m单位群, 是交换群。 \\ p为素数时,U(p)记为Z^*_p \\Z^*_p=\{\bar 1,\bar 2,...,\overline {p-1}\} \\4.U(m)的阶为\phi(m)（欧拉函数） \\m=p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_s^{r_s}(p_i为m的不同素因子) \\\phi(m)=(p_1^{r_1}-p_1^{r_1-1})(p_2^{r_2}-p_2^{r_2-1})...(p_n^{r_n}-p_n^{r_n-1}) \\=m\prod_{i=1}^s（1-\frac 1 {p_i}) 1.设m>1，且为正整数。2.U(m)={aˉ∈Zm∣(a,m)=1}关于剩余类的乘法构成群。单位元是1ˉ逆元是uˉ,uˉ∈U(m)，即U(m)的每个元素在U(m)中都可逆。∀aˉ∈U(m)=>(a,m)=1au+mv=1(u,v∈Z)(u,m)=1=>uˉ∈U(m),aˉuˉ=uˉaˉ=1ˉ3.群(U(m),⋅)为Z的模m单位群,是交换群。p为素数时,U(p)记为Zp∗Zp∗={1ˉ,2ˉ,...,p−1}4.U(m)的阶为ϕ(m)（欧拉函数）m=p1r1p2r2...psrs(pi为m的不同素因子)ϕ(m)=(p1r1−p1r1−1)(p2r2−p2r2−1)...(p