只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同水平时指标有无显著差别。 A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平时指标有无显著差别， 相当于检验若干总体的均值是否相等。

1.1数学模型

1.2 统计分析 

由卡方分布的可加性得：

1.3 方差分析表 

方差分析一般用的显著性水平是：取α = 0.01，拒绝 H0 ，称因素 A 的影响（或 A 各水平的差异）非常显著；取α = 0.01，不拒绝 H0 ，但取α = 0.05 ，拒绝 H0 ，称因 素 A 的影响显著；取α = 0.05 ，不拒绝 H0 ，称因素 A 无显著影响。 

 1.4 Matlab 实现

Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令是 anoval。 若各组数据个数相等，称为均衡数据。若各组数据个数不等，称非均衡数据。

（1）均衡数据

处理均衡数据的用法为： p=anoval(x)

返回值 p 是一个概率，当 p > α 时接受 H0 ，x 为m× r 的数据矩阵，x 的每一列是一个 水平的数据（这里各个水平上的样本容量 ni = m ）。另外，还输出一个方差表和一个 Box 图。

示例：

x=[256 254 250 248 236 
 242 330 277 280 252 
 280 290 230 305 220 
 298 295 302 289 252]; 
p=anova1(x) 

 得 p = 0.1109 >α = 0.05，故不能拒绝原假设，接受H0，即 5 名工人的生产率没有显著差异。

方差表对应于上面的单因素方差分析表的1 ~ 4 列，F = 2.262 是 F(4,15) 分布的1− p 分 位数，可以验证 fcdf(2.262,4,15)=0.8891=1-p。

 Box 图反映了5个工人生产率数据的特征。

（2）非均衡数据

处理非均衡数据的用法为： p=anova1(x,group)

x 为向量，从第 1 组到第 r 组数据依次排列；group 为与 x 同长度的向量，标志 x 中数 据的组别。

示例：

clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500 
 1670 1600 1540 1550 
 1700 1640 1620 1610 
 1750 1720 1680 1800]; 
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; 
g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; 
p=anova1(x,g) 

求得：p=0.0331<0.05，所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异。

 

 1.5 多重比较

在灯泡寿命问题中，为了确定哪几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异，我们先算出各组数据的均值：

虽然 A1 的均值最大，但要判断它与其它几种有显著差异，还需做多重比较。一般多重比较要对所有 r 个总体作两两对比，分析相互间的差异。根据问题的具体情况可以减少对比次数。

clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500 
 1670 1600 1540 1550 
 1700 1640 1620 1610 
 1750 1720 1680 1800]; 
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; 
g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; 
[p,t,st]=anova1(x,g) 
[c,m,h,nms] = multcompare(st); 
[nms num2cell(m)]