1. 1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

思路

根494的题目相似，会选出一些石头是 + 的，一些石头是 - ，但是- 的石头的和不超过 石头总和的一半。等价于选出一些石头，在不超过总和一半情况下，和最大。
0-1背包，求和。

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        # 虽然每次任意选择两块儿石头，最终每块石头的状态只有1或者-1两种
        # -1 状态下的石头和在不超过 sum // 2的情况下要最大
        # 容量为 sum // 2的背包，物品的质量和价值相等，0-1背包问题
        # 递推公式 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - stones[i]])
        # dp[i][j]表示包含索引i的物品，在容量为j的情况下能够放的最大重量
        sum_value = sum(stones)
        target = sum_value // 2
        dp = [stones[0] if j >= stones[0] else 0 for j in range(target + 1)]
        # i = 1的时候，对于大于容量大于等于stones[0]的dp[i][j] = stones[0]
        # 递推
        for i in range(1, len(stones)):
            for j in range(target, stones[i] - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
        return sum_value - 2 * dp[-1]
            

2. 494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

思路

0-1背包，选出一些数的和为pos，pos可以根据：
pos + neg = sum_v
pos - neg = target 来计算得到。
容量对应位pos

代码实现

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]
        sum_value = sum(nums)
        if (sum_value + target) % 2 == 1 or sum_value + target < 0:
            return 0
        new_target = (sum_value + target) // 2
        dp = [0] * (new_target + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(new_target, nums[i] - 1, -1):
                dp[j] += dp[j - nums[i]]
        return dp[-1]

3. 474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：

输入：strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。

代码实现

from typing import Tuple
class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        def compute_mn(strings: str) -> Tuple[int, int]:
            m, n = 0, 0
            for char in strings:
                if char == "0":
                    m += 1
                else:
                    n += 1
            return m, n

        # 三维dp ---> 二维dp，容量为 m, n 两个维度
        # dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - cur_m][k - cur_n] + 1)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        # 初始化，全是0
        for i in range(len(strs)):
            cur_str = strs[i]
            cur_m, cur_n = compute_mn(cur_str)
            for j in range(m, cur_m - 1, -1):
                for k in range(n, cur_n - 1, -1):
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - cur_m][k - cur_n] + 1)
        return dp[-1][-1]