Σ − 1 / 2 Σ Σ − 1 / 2 = I \Sigma^{-1/2} \Sigma \Sigma^{-1/2} = \mathbf{I} Σ−1/2ΣΣ−1/2=I这样 Y \mathbf{Y} Y 的协方差矩阵为单位矩阵：
Y ∼ N ( 0 , I ) \mathbf{Y} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I}) Y∼N(0,I)
( X − μ ) T Σ − 1 ( X − μ ) = Y T Y = ∑ i = 1 k Y i 2 (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) = \mathbf{Y}^T \mathbf{Y} = \sum_{i=1}^{k} Y_i^2 (X−μ)TΣ−1(X−μ)=YTY=∑i=1kYi2
∑ i = 1 k Y i 2 ∼ χ k 2 \sum_{i=1}^{k} Y_i^2 \sim \chi^2_k ∑i=1kYi2∼χk2
( X − μ ) T Σ − 1 ( X − μ ) = Y T Y = ∑ i = 1 k Y i 2 ∼ χ k 2 (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) = \mathbf{Y}^T \mathbf{Y} = \sum_{i=1}^{k} Y_i^2 \sim \chi^2_k (X−μ)TΣ−1(X−μ)=YTY=∑i=1kYi2∼χk2
因此，马氏距离的平方 D M 2 ( X , μ ) D_M^2(\mathbf{X}, \boldsymbol{\mu}) DM2(X,μ) 在多维正态分布下服从*度为 k k k 的卡方分布。