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- 中值定理、反函数定理
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
中值定理、反函数定理
定理：Rolle（罗尔）中值定理
设实值函数
f
∈
C
0
[
a
,
b
]
f\in C^0[a,b]
f∈C0[a,b] 且在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上可微，若
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)，则存在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0\in(a,b)
x0∈(a,b)，使得
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=0
f′(x0)=0
证明
设
f
f
f 非常值函数，设
x
0
x_0
x0 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的最大值，则
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=0
f′(x0)=0
定理：Lagrange（拉格朗日）中值定理
设实值函数
f
∈
C
0
[
a
,
b
]
f\in C^0[a,b]
f∈C0[a,b] 且在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上可微，则存在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0\in(a,b)
x0∈(a,b)，使得
f
′
(
x
0
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′(x0)=b−af(b)−f(a)
证明思路
构造辅助函数
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
g(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a) 以及Rolle中值定理可得
定理：Cauchy中值定理
设实值函数
f
,
g
∈
C
0
[
a
,
b
]
f,g\in C^0[a,b]
f,g∈C0[a,b]，且
f
,
g
f,g
f,g 在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上均可微，设对任意的
x
∈
(
a
,
b
)
,
g
′
(
x
)
≠
0
x\in(a,b),g'(x)\neq 0
x∈(a,b),g′(x)=0，则存在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0\in(a,b)
x0∈(a,b)，使得
f
′
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
g′(x0)f′(x0)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
证明思路
法1：构造辅助函数
F
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
(
g
(
x
)
−
g
(
a
)
)
F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))
F(x)=f(x)−f(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)(g(x)−g(a))
注意到 F ( a ) = F ( b ) = 0 F(a)=F(b)=0 F(a)=F(b)=0，使用Rolle中值定理即得
法2：由
g
′
(
x
)
≠
0
g'(x)\neq 0
g′(x)=0，故
g
:
I
=
[
a
,
b
]
→
J
=
[
g
(
a
)
,
g
(
b
)
]
g:I=[a,b]\to J=[g(a),g(b)]
g:I=[a,b]→J=[g(a),g(b)] 是同胚，
考虑映射
f
∘
g
−
1
:
J
→
Y
f\circ g^{-1}:J\to Y
f∘g−1:J→Y，存在
c
∈
J
c\in J
c∈J，使得
f
∘
g
−
1
(
g
(
a
)
)
−
f
∘
g
−
1
(
g
(
b
)
)
g
(
a
)
−
g
(
b
)
=
(
f
∘
g
−
1
)
′
(
c
)
\frac{f\circ g^{-1}(g(a))-f\circ g^{-1}(g(b))}{g(a)-g(b)}=(f\circ g^{-1})'(c)
g(a)−g(b)f∘g−1(g(a))−f∘g−1(g(b))=(f∘g−1)′(c)
注：Cauchy中值定理的几何直观
考虑如下的向量值函数
F
:
[
a
,
b
]
→
R
,
x
↦
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
F:[a,b]\to\mathbb{R},x\mapsto \begin{pmatrix} f(x)\\g(x)\\ \end{pmatrix}
F:[a,b]→R,x↦(f(x)g(x))
Cauchy中值定理说的是存在曲线上一点
x
0
x_0
x0，使得其切线方向
F
′
(
x
0
)
F'(x_0)
F′(