Bézout’s定理
∀
a
,
b
∈
Z
\forall a, b \in Z
∀a,b∈Z，
∃
x
,
y
∈
Z
+
\exists x,y \in Z^+
∃x,y∈Z+，使得
a
x
+
b
y
=
g
c
d
(
a
,
b
)
(0)
ax + by = gcd(a,b) \tag{0}
ax+by=gcd(a,b)(0)
扩展欧几里得算法求该定理的解
已知
g
c
d
(
a
,
b
)
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
(1)
\begin{aligned} gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) \end{aligned} \tag{1}
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)(1)
根据
B
e
ˊ
z
o
u
t
′
s
Bézout's
Beˊzout′s定理，
∃
x
′
,
y
′
∈
Z
+
\exists x^{'}, y^{'} \in Z^+
∃x′,y′∈Z+，使得：
b
x
′
+
(
a
%
b
)
y
′
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
(2)
\begin{aligned} bx^{'} + (a \% b)y^{'} = gcd(b, a \% b) \end{aligned} \tag{2}
bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)(2)
又
a
%
b
=
a
−
b
∗
⌊
a
/
b
⌋
(3)
\begin{aligned} a \% b = a - b * \lfloor a / b \rfloor \end{aligned} \tag{3}
a%b=a−b∗⌊a/b⌋(3)
将
(
3
)
(3)
(3)带入
(
2
)
(2)
(2)，得：
b
x
′
+
(
a
−
b
∗
⌊
a
/
b
⌋
)
y
′
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
a
y
′
+
b
(
x
′
−
⌊
a
/
b
⌋
y
′
)
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
(4)
\begin{aligned} bx^{'} + (a - b * \lfloor a / b \rfloor) y^{'} &= gcd(b, a \% b) \\ ay^{'} + b(x^{'} - \lfloor a / b \rfloor y^{'}) &= gcd(b, a \% b) \end{aligned} \tag{4}
bx′+(a−b∗⌊a/b⌋)y′ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=gcd(b,a%b)=gcd(b,a%b)(4)
令
x
=
y
′
x = y^{'}
x=y′，
y
=
x
′
−
⌊
a
/
b
⌋
y
′
y= x^{'} - \lfloor a / b \rfloor y^{'}
y=x′−⌊a/b⌋y′，将
(
1
)
(1)
(1)代入
(
4
)
(4)
(4)，整理得：
a
x
+
b
y
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
=
g
c
d
(
a
,
b
)
(5)
\begin{aligned} ax + by = gcd(b, a \% b) = gcd(a,b) \end{aligned} \tag{5}
ax+by=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)(5)
(
5
)
(5)
(5)说明，知道
(
2
)
(2)
(2)的解就可以推出定理的解。公式(0)到公式(2)明显是欧几里得算法求解最大公约数的过程。公式(3)，(4)，(5)是说明：公式(0)的解与公式(2)的解的关系。将上述过程归纳成代码形式：
void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) { //公式(0)
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
exgcd(b, a % b, x, y); //公式(2)
int tp = x;
x = y;
y = tp - a / b * y;
}
参考
- https://www.cnblogs.com/fusiwei/p/11775503.html